論理包含、含意、内含は、歴史的には記号で表記される経緯がある。 他方、集合論でも集合の包含の表記にも記号が使われる。 ところが、命題に対し、とに関連深い集合とを考えるとと真逆な向きになり、紛らわしいことが起こる。
以下では、その仕組みを簡単に纏める。 なお、混同を減らすため、紛らわしさを対比させる場合を除き、 原則として、論理包含は記号で、集合包含は記号で表記する。
一般に、命題があると、その命題を条件とする集合と1対1で対応づけできる。 例えば、が「が偶数」であれば、対応する命題が偶数が必ず作れる。 この1対1の対応付けは集合の内包表記そのものに利用され、集合の要件としても要請される。
簡潔のため、以下ではこの対応関係を記号で表記する。
逆に、集合があると、要素の包含を表す命題が1対1で対応づけできる。 例えば、が偶数の集合ならば、対応する、すなわち「は偶数である」が必ず作れる。 一般に、は常に成り立つ。
、すなわち、がに関わらず恒偽の場合、 対応する集合は要素を1つも持たないので、空集合となる。 よって、恒偽は空集合に対応する。
、すなわち、がに関わらず恒真の場合、 対応する集合は全てのを要素として持つので、は全体集合となる。 よって、恒真は全体集合に対応する。
で考えている場合、が全体集合になるので、が成り立つ。 対応式で書くと
例えば、で考えているため、である。 これに関して命題と集合の対応付けとしてが自明的に成り立つのが容易に確認できる。
命題に対応する集合はと書ける。 一方で、内包表記で記述される条件を満たさない集合は補集合であるため、と書ける。 よって、論理否定は補集合に対応し、が成り立つ。
例えば、真偽値に関して、次の計算が容易に確認できる。
命題の集合表記を考える。 対応関係は、