%indent
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* 四面体の３隣辺が張る平行六面体の体積への読み替え [#g1db3089]
;,辺長が$$ 1 $$の立方体の１頂点を原点Ｏに選び、隣り合う３点をＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶと、
;,四面体ＯＡＢＣの体積は$$ \ffd16 $$と算出できる。
;,立方体をＯＡ方向、ＯＢ方向、ＯＣ方向にそれぞれ$$ a $$倍、$$ b $$倍、$$ c $$倍すると、
;,体積が共に$$ abc $$倍された長方形と（歪んだ）四面体が得られるが、
;,四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
;,ただし、幾何的必要性から、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$は共に$$ 0 $$以上の実数とする。
;,同様に、∠ＡＯＢ、∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡの角度をぞれぞれ$$ \alpha $$倍、$$ \beta $$倍、$$ \gamma $$倍すると、
;,形は歪み、体積も変わるが、四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
;,ただし、幾何的必要性から、$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$は共に$$ 0 $$以上かつ$$ 1 $$以下の実数とする。
;,以上の変形により、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$と$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$の計６つの自由度を作り出している。
;,これは、四面体の６つの辺を幾何的制約の元で自由に選べる自由度と一致する。
;,このため、以上６つのパラメータで任意の四面体を作ることが可能であり、
;,以下の議論は一般性を失わないことと言える((厳密には、幾何的制約まで評価する必要があるが、後回しにする))。
;,従って、四面体ＯＡＢＣの体積$$ v $$を求めるには、
;,平行六面体の体積$$ V $$を求めてから、$$ \ffd16 V $$と割れば良い。
%bodynote
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* 平行六面体の体積 [#ab9f7493]
;,原点Ｏとする３次元空間上の３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれ$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$とする。
;,点ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡへのベクトルをそれぞれ$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$とする。
;,四辺形の全ての辺長が分かることは、各ベクトルの大きさを全て既知であることを意味する。
;,簡潔のため、
$$ a $ = $ |\:a|^2 $$、$$ b $ = $ |\:b|^2 $$、$$ c $ = $ |\:c|^2 $$、
$$ d $ = $ |\:d|^2 $$、$$ e $ = $ |\:e|^2 $$、$$ f $ = $ |\:f|^2 $$とする。
;,すると、三角形ＡＯＢ、ＢＯＣ、ＣＯＡのそれぞれで点Ｏを頂点とする余弦定理を考えると、
;,$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$の大きさを$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積に交換できる。
#ceq(e)
$$ \:a $ \sx $ \:b $ = $ \ffd12 $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $$
$$ \:a $ \sx $ \:b $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:a|^2 $ + $ |\:b|^2 $ - $ |\:d|^2 $ ) $$
#ceq(e)
$$ \:b $ \sx $ \:c $ = $ \ffd12 $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $$
$$ \:b $ \sx $ \:c $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:b|^2 $ + $ |\:c|^2 $ - $ |\:e|^2 $ ) $$
#ceq(e)
$$ \:c $ \sx $ \:a $ = $ \ffd12 $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $$
$$ \:c $ \sx $ \:a $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:c|^2 $ + $ |\:a|^2 $ - $ |\:f|^2 $ ) $$
#ceq(d)
;,簡潔のため、
$$ a $ = $ |\:a|^2 $$、$$ b $ = $ |\:b|^2 $$、$$ c $ = $ |\:c|^2 $$、
$$ d $ = $ - $ |\:d|^2 $$、$$ e $ = $ - $ |\:e|^2 $$、$$ f $ = $ - $ |\:f|^2 $$とする。
#ceq(e)
$$ \:a $ \sx $ \:b $ = $ \ffd12 $ ( $ a $ + $ b $ + $ d $ ) $$
#ceq(e)
$$ \:b $ \sx $ \:c $ = $ \ffd12 $ ( $ b $ + $ c $ + $ e $ ) $$
#ceq(e)
$$ \:c $ \sx $ \:a $ = $ \ffd12 $ ( $ c $ + $ a $ + $ f $ ) $$
#ceq(d)
;,平行六面体の３辺$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積が分かれば、体積は行列で求まる。
;,ベクトル$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$を３列とする行列$$ \:S $$を考えると、平行六面体の体積は$$ \:S $$の行列式$$ |\:S| $$となる。
;,その自乗$$ |\:S|^2 $$は、$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積の式になる。
#ceq(e)
$$ V^2 $$
#ceq(c)
$$ = $$
#ceq(c)
$$ |\:S|^2 $ = $ |\:S^{\textrm{T}}\:S| $$
#ceq(c)
$$ = $$
#ceq(c)
$$$
\left| \left[
\begin{array}{ccc} \; & \:a & \; \\ \; & \:b & \; \\ \; & \:c & \; \end{array} \right]
\!\!\! \left[
\begin{array}{ccc} \; & \; & \; \\ \:a & \:b & \:c \\ \; & \; & \; \end{array} \right]
\right|
$$$
#ceq(c)
$$ = $$
#ceq(c)
$$$
\left|
\begin{array}{ccc}
\:a\sx\:a & \:a\sx\:b & \:a\sx\:c \\
\:b\sx\:a & \:b\sx\:b & \:b\sx\:c \\
\:c\sx\:a & \:c\sx\:b & \:c\sx\:c
\end{array}
\right|
$$$
#ceq(d)
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 行列計算 [#t0b752c2]
#ceq(e)
$$ V^2 $$
#ceq(c)
$$ = $$
#ceq(c)
$$$
\left|
\begin{array}{ccc}
a & \ffd12 ( a + b - d ) & \ffd12 ( c + a - f ) \\
\ffd12 ( a + b - d ) & b & \ffd12 ( b + c - e ) \\
\ffd12 ( c + a - f ) & \ffd12 ( b + c - e ) & c
\end{array}
\right|
$$$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $$
#ceq(c)
$$$
\ffd1{2^3}
\left|
\begin{array}{ccc}
2a & a - b + d & c + a - f \\
a + b - d & 2b & b + c - e \\
c + a - f & b - c + e & 2c
\end{array}
\right|
$$$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ 2^3 $ V^2 $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
#ceq(c)
$$ = $ ( $ 2a $ ) $ ( $ 2b $ ) $ ( $ 2c $ ) $$
&br;$$ + $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $$
&br;$$ + $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $$
&br;$$ - $ ( $ 2a $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2b $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2c $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ )^2 $$
#ceq(c)
$$ = $ 8abc $$
&br;$$ + $ abc + aba - abf + acc + aca - acf - aec - aea + aef $$
&br;$$ + $ bbc + bba - bbf + bcc + bca - bcf - bec - bea + bef $$
&br;$$ - $ dbc - dba + dbf - dcc - dca + dcf + dec + dea - def $$
&br;$$ + $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $$
&br;$$ - $ ( $ 2a $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2b $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2c $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ )^2 $$
#ceq(d)
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