* 多項式単位面積 [#dd9b60c7]
;,受験数学では、2次関数と直線に囲まれる面積を求める便利公式として、
;,1/6公式、1/3公式、1/12公式などと呼ばれる公式群がある。
- cf: [[高校数学の美しい物語／二次関数の面積に関する1/3公式と1/12公式の証明>https://mathtrain.jp/13112formula]]
- cf: [[受験の月／1/3公式を利用して求める面積2パターンと裏技a/3公式>http://examist.jp/mathematics/math-2/integral/13area/]]
;,例えば、2次関数$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$で表される放物線について、
;,任意の直線と2点で交わり、交点の$$ x $$成分がそれぞれ$$ \alpha $$と$$ \beta $$のとき、
;,放物線と直線に囲まれる図形の面積は$$ \ffd16 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$になる。
;,これらの公式は以下の因子を持ち、面積$$ S $ = $ k $ |a| $ |\beta - \alpha|^n $$という形をしている。
- 簡単な整数比となる係数$$ k $$
- 多項式関数の最高次項の係数の絶対値$$ |a| $$
- 2点の$$ x $$座標差の累乗$$ |\beta - \alpha|^n $$
;,頻出問題に有効な上に、係数が簡単な整数比であるため、暗記対象とされる場合が多い。
;,その中、図形的意味を吟味して、直観的に理解する試みも為されている。
- cf: [[twitter／@ysmemoirs／「公益に資するイラスト」>https://twitter.com/ysmemoirs/status/1097823088186613760]]
;,以下では、この公式群の図形的意味について考察する。
* 単位正方形内における多項式の積分 [#me97b396]
*** 単位正方形内における単項式曲線の積分 [#e6238314]
*** 正単項式形の面積 [#n30c709b]
;,手始めに、簡単な例として単位区間$$ 0::1 $$((凌宮の区間表記。$$ x $ \in $ 0::1 $$ は $$ 0 $ \le $ x $ \le $ 1 $$の意味。))における単項式$$ x^n $$の積分を考える。
;,積分結果は$$ U_n $ = $ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^{n+1}}{n+1} $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd{1}{n+1} $$。
;,$$ x $ = $ 1 $$のとき、必ず$$ x^n $ = $ 1 $$であるため、
;,積分値$$ U_n $$は$$ 1 $ \times $ 1 $$の単位正方形を$$ x^n $$のグラフで区切られる下半分の面積を表す。
;,以下では便宜的に$$ 0 $ \le $ x $ \le $ 1 $$と$$ 0 $ \le $ y $ \le $ x^n $$を満たす図形を正$$ n $$次単項形と呼ぶ。
;,具体的に、
#ceq(e)
;,''正$$ 0 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^0 $$
;,$$ U_0 $ = $ \int_0^1 $ x^0 $ dx $ = $ \Big[ $ x $ \Big]_0^1 $ = $ 1 $$
;,$$ 0 $$次の単項式のグラフは水平線。
;,正$$ 0 $$次単項形は正方形。
;,単位正方形の$$ 1 $$倍の面積と言える。
#ceq(c)
#ref(./Sp0.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 1 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^1 $$
;,$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^2}{2} $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd12 $$
;,$$ 1 $$次の単項式のグラフは斜めの直線。
;,正$$ 1 $$次単項形は直角二等辺三角形。
;,面積は単位正方形の半分である$$ \ffd12 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp1.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 2 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^2 $$
;,$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^3}{3} $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd13 $$
;,$$ 2 $$次の単項式のグラフは放物線。
;,$$ 2 $$次以上の正単項形を簡易に表す言葉は無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd13 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp2.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 3 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^3 $$
;,$$ U_3 $ = $ \int_0^1 $ x^3 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^4}{4} $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd14 $$
;,$$ 3 $$次以上では単項式のグラフにすら名前が無い。
;,面積は単位正方形の$$ \ffd14 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp3.png,50%)
#ceq(e)
;,''正$$ 4 $$次単項形''
;,$$ y $ = $ x^4 $$
;,$$ U_4 $ = $ \int_0^1 $ x^4 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd{x^5}{5} $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd15 $$
;,面積は単位正方形の$$ \ffd15 $$倍。
#ceq(c)
#ref(./Sp4.png,50%)
#ceq(d)
*** 単項式形の面積 [#u953ae0a]
;,次に、単位区間における係数付きの$$ ax^n $$の積分を考える。
;,積分結果は$$ S_{n,a} $ = $ a $ U_n $ = $ \int_0^1 $ a $ x^n $ dx $ = $ a $ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \ffd{a}{n + 1} $$。
;,定数は積分の外に出せるため、結果も定数倍されるだけである。
;,図形的意味は、グラフを立てに$$ a $$倍引き延ばせば、面積も$$ n $$倍になる。
;,$$ y $$軸に$$ a $$倍引き延ばすので、$$ y $ = $ a $ x^n $$を変形して、$$ \ffd{y}{a} $ = $ x^n $$と変形しておこう。
;,一般に、多項式$$ x^n $$について区間$$ \alpha::\beta $$の面積は$$ S $ = $ \int_\alpha^\beta $ x^n $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd1{n+1} $ x^{n+1} $ \Big]_\alpha^\beta $$で与えられる。
;,これを$$ S $ = $ \ffd1{n+1} $ (\beta - \alpha)^{n+1} $ = $ \ffd1{n+1} $ \cdot $ (\beta - \alpha) $ \cdot $ (\beta - \alpha)^n $$ と変形すると、
;,
;,そのため、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が整数のとき、面積は$$ U_n $ = $ \ffd{1}{n+1} $$の整数倍になる。
;,さらに、$$ U_n $$は区間$$ 0::1 $$の面積$$ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd1{n+1} $ x^{n+1} $ \Big]_0^1 $$の解でもある。
;,そのため、$$ U_n $$を$$ n $$次関数の単位面積と見なせる。
;,以下では、区間$$ 0::1 $$における多項式の単位面積から出発し、単位面積の差で上記公式群の係数を導く。
;,この導出が可能なため、公式群を便宜的に「多項式の単位面積公式」と呼ぶことにする。
* 単項式の単位面積：区間$$ 0::1 $$の面積 [#re3dbf83]
** ２次単項式$$ x^2 $$の単位面積$$ U_2 $$ [#kf8768eb]
$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd13 $ x^3 $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd13 $$。
** 1/3公式 [#wd994e63]
1/3公式
#ceq
;, 放物線$$ P $$：$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$と直線$$ L $$：$$ y $ = $ px $ + $ q $$が
;, 点$$ A(\alpha, \alpha_y) $$で接し、放物線$$ P $$と直線$$ L $$と$$ x $ = $ \beta $$に囲まれる図形の面積は、
;, $$ \ffd13 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。
#ceq(d)
…
1/3公式の係数$$ \ffd13 $$は$$ U_2 $ = $ \ffd13 $$である。
** １次単項式$$ x^3 $$の単位面積$$ U_3 $$ [#kf8768eb]
$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd12 $ x^4 $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd12 $$。
** 1/6公式 [#q27195c0]
…
1/6公式の係数$$ \ffd16 $$は$$ U_1 $ - $ U_2 $ = $ \ffd12 $ - $ \ffd13 $ = $ \ffd16 $$である。
%bodynote
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