%indent
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* 凌宮読取術：$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇒ $$ (D + a) $ y $ = R $$ ⇒ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$ [#y4dfccef]

;,定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

;,定数係数の１階線形常微分方程式は微分で定義される多くの分野で現れるため、
;,「変数分離法＆定数変化法」
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential07.html))という定番解法が大学入学早々叩き込まれる。

;,変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的に解を得るのは難しい。
;,その上、高階の方程式を解くのに１階の解が多用されるため、ほぼ丸暗記する羽目になる。
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ (D+a)^{-1} $$
((高階微分方程式の解法として部分分数分解を続けて使う文脈では分数型$$ \ffd{1}{D+a} $$とも表記される。))
として暗記対象になる
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ \ffd{1}{D+a} $$の形で暗記対象になる
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential12.html))
：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

;,これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
;,指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $$に単純な意味を与え、
;,高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。

#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D + a) $ y $ = R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(end)

%bodynote
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*定数係数１階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 [#nbcde897]
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** $$ D $$の逆演算子 [#j29605dc]

;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ = $ \int $ R $ dx $$が定義される。
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$〜$$ dx $$となる。

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** $$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 [#pa5233d4]

;,定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると：
#ceq(e)
  $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} R) $$
#ceq(end)
;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} \ast) $$
#ceq(end)

;,問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、これを簡単に省けない。
;,$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが、$$ D^{-1} $ e^{ax} $$と書いた場合は$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
;,このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

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** 指数変換演算子： $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#e855e482]

;,$$ E_a $ = $ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
;,$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$ D^{-1} $ (e^{ax} \ast) $$を表現できるようになる。
;,$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)

;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる：
#ceq(e)
  $$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{-ax} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)

これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''積分''して、$$ E_a $$の''逆変換''を掛ける、と読める。

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** $$ (D+a) $$の分解表記 [#x6916144]

;,$$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる：
#ceq(e)
  $$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
#ceq(e)
  ＝ $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(a)
  チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
(($$FGx=y$$を纏めて飛ばすと$$x=(FG)^{-1}y $$になるが、１つずつ飛ばすと$$FGx=y$$ ⇒ $$Gx=F^{-1}y$$ ⇒ $$x=G^{-1}F^{-1}y$$。))
#ceq(e)
  ＝ $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(a)
  逆演算の逆演算は正演算
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''微分''し、''逆変換''を掛ける、と読める。

;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$に関しては変わりが無い。
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{\phantom{+1}} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{\phantom{+1}} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
  指数変換→微分→逆変換
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
  指数変換→積分→逆変換
#ceq(end)

%bodynote
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* 計算例 [#r56dac57]
;,以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数１階数線形常微分方程式を以下のように解ける：

#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D $ \iro[ao]{E_a} $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式３：演算子分解
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $ R $$
#ceq(a)
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^{ax}} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)

%bodynote
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* 演算子分解法に基づく、定数係数１階線形常微分方程式の解釈 [#i9c1b533]

上記式３を式４に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式３’が得られる：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式３’：$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
#ceq(end)

;,式２と式３'を見比べれば、
;.$$ y $$と$$ R $$に関する''定数係数１階線形常微方程式は、''
;,''指数変換を施した''$$ E_a $ y $$と$$ E_a $ R $$に関する''定数項無しの微分方程式である''と解釈できる。

この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式３’：定数係数無しの微分方程式に読み替え
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)

%bodynote
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* まとめ・つなぎ [#k10d2cbf]

;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば１階線形常微分方程式を$$ (D+a) $ y $ = $ R $$に書き換えるのは容易だろう。
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
;,段階的に$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と分解してから個別に逆演算に直す方が覚えやすく、
;,$$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が理屈を付けやすいだろう。

;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。

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