%indent //////////////////////////////////////////////////////////////// * 【執筆中】$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$ [#c5d10639] ** 固有値が実数2つ、同次形で共鳴 [#r90b0b40] #ceq(e) $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$ #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-3x} $$ #ceq(a) 式1: 線形常微分演算子化 #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-3x} $$ #ceq(a) 式2: 線形常微分演算子の因数分解 #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg)^{\!\!-1} $ e^{-3x} $$ #ceq(a) 式3: 逆演算子表記 ((演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $ = $ B^{-1} $ A^{-1} $$と逆順になるが、定数係数の1階線形常微分演算子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ k $ \bigg) $$は可換なため順番は自由。)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $ \cdot $ e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x} $ \cdot $ e^{-3x} $ dx $ dx $$ #ceq(a) 式4: 逆演算子を積分に置換 ((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$ #ceq(a) 式5: 2階の積分式 #ceq(end) ;,以下からは具体的な積分計算が始まる。 #ceq(e) $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \bigg[ $ x $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \int $ \bigg( $ x $ e^{-2x} $ \ + $ C_1 $ e^{-2x} $ \bigg) $ dx $$ #ceq(a) 式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数 ((積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任意定数を含む基本解を先に書く習慣があるため、。)) (($$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算は補足を参考。)) #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \bigg[ $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-2x} $ + $ \ffd{1}{(-2)^2} $ e^{-2x} $ + $ \ffd{C_1}{-2} $ e^{-2x} $ + $ C_2 $ \bigg] $$ #ceq(e) $$ = $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-3x} $ + $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg) $ e^{-3x} $ + $ C_2 $ e^{-x} $$ #ceq(a) 式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数 #ceq(end) ;,ここで、$$ c_1 $ = $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg) $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。 #ceq(e) $$ y $ = $ -\ffd{1}{2}x $ e^{-3x} $ + $ c_1 $ e^{-3x} $ + $ c_2 $ e^{-x} $$ #ceq(a) 式8: 積和形の一般解 #ceq(end) %bodynote ** 補足$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算 [#u0ffc38a] #ceq(e) $$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$ #ceq(e) $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ x $ \ddd{(e^{\lambda x})}{x} $ dx $$ #ceq(a) 部分積分:$$ \int $ e^{\lambda x} $ dx $ = $ \ffd{1}{\lambda} $ e^{\lambda x} $ + $ C_0 $$ #ceq(e) $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ \bigg( $ \ddd{(xe^{\lambda x})}{x} $ - $ \bcancel{\ddd{x}{x}} $ e^{\lambda x} $ \bigg) $ dx $$ #ceq(a) $$ \ddd{fg}{x} $ = $ \ddd{f}{x} $ g $ + $ f $ \ddd{g}{x} $$を利用($$ f $ = $ x $$、$$ g $ = $ e^{\lambda x} $$) $$ \ddd{(fg)}{x} $ = $ \ddd{f}{x} $ g $ + $ f $ \ddd{g}{x} $$を利用($$ f $ = $ x $$、$$ g $ = $ e^{\lambda x} $$) #ceq(e) $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ x $ e^{\lambda x} - $ \ffd{1}{\lambda^2} $ e^{\lambda x} $ + $ C $$ #ceq(a) 積分実行、$$ C $$は積分定数 #ceq(end) //////////////////////////////////////////////////////////////// * つなぎ [#ec86a775] - [[定数係数2階線形常微分方程式]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数2つ、同次形)>../Dx43y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数1つ、同次形)>../Dx44y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が虚数2つ、同次形)>../Dx45y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で非共鳴)>../Dx43y=-4]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で共鳴)>../Dx43y=-3]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};(固有値が実数1つ、非同次形で共鳴)>../Dx44y=-2]] //////////////////////////////////////////////////////////////// |