%indent //////////////////////////////////////////////////////////////// * $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$ [#c5d10639] ** 固有値が実数2つ、同次形 [#vc0fcdb9] #ceq(e) $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$ #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式1: 線形常微分演算子化 #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式2: 線形常微分演算子の因数分解 #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $$ #ceq(a) 式3: 逆演算子表記 ((演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $ = $ B^{-1} $ A^{-1} $$と逆順になるが、定数係数の1階線形常微分演算子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ k $ \bigg) $$は可換なため順番は自由。)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $ \cdot $ e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$ #ceq(a) 式4: 逆演算子を積分に置換 ((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(a) 式5: 2階の積分式 #ceq(end) ;,以下からは具体的な積分計算が始まる。 #ceq(e) $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \bigg[ $ 0 $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \int $ C_1 $ e^{-2x} $ dx $$ #ceq(a) 式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数 #ceq(e) $$ = $ e^{-x} $ \bigg[ \ffd{C_1}{-2}e^{-2x} $ + $ C_2 $ \bigg] $$ #ceq(e) $$ = $ \ffd{C_1}{-2} $ e^{-3x} $ + $ C_2 $ e^{-x} $$ #ceq(a) 式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数 #ceq(end) ;,ここで、$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{-2} $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。 #ceq(e) $$ y $ = $ c_1 $ e^{-3x} $ + $ c_2 $ e^{-x} $$ #ceq(a) 式8: 積和形の一般解 #ceq(end) %bodynote //////////////////////////////////////////////////////////////// * つなぎ [#ec86a775] - [[定数係数2階線形常微分方程式]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数2つ、同次形)>../Dx43y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数1つ、同次形)>../Dx44y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が虚数2つ、同次形)>../Dx45y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で非共鳴)>../Dx43y=-4]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で共鳴)>../Dx43y=-3]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};(固有値が実数1つ、非同次形で共鳴)>../Dx44y=-2]] //////////////////////////////////////////////////////////////// |