%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$ [#o465eb07]
** 固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形 [#cff300ed]
* 【執筆中】$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$ [#e7e25463]
** 固有値が重根１つ、同次形 [#g1da2d0c]
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-2x} $$
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ y = $ e^{2x} $$
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 4 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $ $ y = $ e^{2x} $$
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1} $ e^{2x} $$
⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1} $ e^{-2x} $ dx $$
#ceq(a)
式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg) $ $ e^{2x} $ dx^4 $$
⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ e^{-2x} $ dx $ dx $$
#ceq(a)
式4： 逆演算子を積分に置換
((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{\:ix-x} $ \cdot $ e^{-x} \!\!\int \cdot \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg) $ $ e^{2x} $ dx^4 $$
⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 1 $ dx^2 $$
#ceq(a)
式5： ４回の逐次積分
#ceq(d)
式5： ２階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int 1 $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-2x} $ \int $ \bigg[ $ x $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$
#ceq(a)
式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
#ceq(e)
$$ = $ e^{-2x} $ \bigg[ $ \ffd{1}{2} $ x^2 + $ C_1 $ x $ + $ C_2 $ \bigg] $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{2} $ x^2 $ e^{-2x} $ + $ C_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ C_2 $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ C_1 $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と書き換えるとそのまま積和形の解が得られる
((この場合は書換なしでも十分綺麗な答えになっている。&br;一般に、２階積分では積分定数が置換えずに済む場合が稀である。&br;ここは関連記事に合わせて、大文字で仮置きしてから小文字に置換える手順に統一している。))。
;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形も好まれる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ \ffd{1}{2} $ x^2 $ e^{-2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ c_2 $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
式8： 積和形の一般解
#ceq(e)
$$ y $ = $ ( $ \ffd{1}{2} $ x^2 $ + $ c_1 $ x $ + $ c_2 $ ) $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
式9： 和積形の一般解
#ceq(end)
%bodynote
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* つなぎ [#ec86a775]
- [[定数係数２階線形常微分方程式]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数２つ、同次形）>../Dx43y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数１つ、同次形）>../Dx44y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が虚数２つ、同次形）>../Dx45y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で非共鳴）>../Dx43y=-4]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で共鳴）>../Dx43y=-3]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};（固有値が実数１つ、非同次形で共鳴）>../Dx44y=-2]]
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![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
