%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$ [#cd14faac]
** 固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形、非共鳴 [#l48e5801]
;,[[定数係数２階線形常微分方程式]]の考え方は、定数係数４階線形常微分方程式にも容易に応用できる。
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $ $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1} $ e^{2x} $$
#ceq(a)
式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\, $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\, $ \bigg) $ $ e^{2x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
式4： 逆演算子を積分に置換
((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
⇔ $$ y = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
式5： ４回の逐次積分
#ceq(d)
%bodynote
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。$$ C_\ast $$は全て積分定数。
#ceq(e)
$$ y_1 $ = $ \int\! e^{x} $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{x} $ + $ C_1 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_2 $ = $ \int\! $ y_1 $ dx $ = $ \int\! $ \bigg( $ e^{x} $ + $ C_1 $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{x}$ + $ C_1 $ x $ + $ C_2 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_3 $ = $ \int\! $ e^{x-\:ix} $ y_2 $ dx $ = $ \int\! $ e^{x-\:ix} $ \bigg( $ e^{x}$ + $ C_1 $ x $ + $ C_2 $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ \bigg( $ e^{2x-\:ix} $ + $ C_1 $ x $ e^{x-\:ix} $ + $ C_2 $ e^{x-\:ix} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x-\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{1-\:i} $ x $ e^{x-\:ix} $ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2} $ e^{x-\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{1-\:i} $ e^{x-\:ix} $ + $ C_3 $$
| ((部分積分により $$ \int $ xe^{ax} $ dx $ = $ \ffd1a $ xe^{ax} $ - $ \ffd1{a^2} $ e^{ax} $ + C $$))
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_4 $ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ y_3 $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ e^{2\:ix} $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x-\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{1-\:i} $ x $ e^{x-\:ix} $ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2} $ e^{x-\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{1-\:i} $ e^{x-\:ix} $ + $ C_3 $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \int\! $ \bigg( $ \ffd1{2-\:i} $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{1-\:i} $ x $ e^{x+\:ix} $ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2} $ e^{x+\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{1-\:i} $ e^{x+\:ix} $ + $ C_3 $ e^{2\:ix} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd1{(2-\:i)(2+\:i)} $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{1-\:i} $ \bigg( $ \ffd1{1+\:i} $ x $ e^{x+\:ix} $ - $ \ffd1{(1+\:i)^2} $ e^{x+\:ix} $ \bigg) $$
&br; $$ - $ \ffd{C_1}{(1-\:i)^2(1+\:i)} $ e^{x+\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{(1-\:i)(1+\:i)} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{2\:ix} $ + $ C_4 $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e^{x+\:ix} $ - $ \ffd{C_1}{2(1+\:i)} $ e^{x+\:ix} $$
$$ - $ \ffd{C_1}{2(1-\:i)} $ e^{x+\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{2\:ix} $ + $ C_4 $$
#ceq(a)
(($$ (1-i)(1-i)=2 $$、$$ (2-i)(2-i)=5 $$))
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e^{x+\:ix} $ - $ \ffd{C_1}{2} $ e^{x+\:ix} $$
$$ + $ \ffd{C_2}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{2\:ix} $ + $ C_4 $$
#ceq(a)
(($$ \ffd1{(1-i)} + \ffd1{(1-i)} = \ffd{(1-i) + (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \ffd22 = 1 $$))
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e^{x+\:ix} $$
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{2\:ix} $ + $ C_4 $$
#ceq(d)
#ceq(e)
$$ y_{\phantom0} $ = $ e^{-\:ix} $ y_4 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \bigg( $ \ffd15 $ e^{2x+\:ix} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e^{x+\:ix} $$
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x+\:ix} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{2\:ix} $ + $ C_4 $ \bigg) $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ \ffd{C_1}{2} $ x $ e^{x} $$
$$ + $ \ffd{C_2-C_1}{2} $ e^{x} + $ \ffd{C_3}{2\:i} $ e^{\:ix} $ + $ C_4 $ e^{-\:ix} $$
#ceq(d)
$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{2} $$、$$ c_2 $ = $ \ffd{C_2 - C_1}{2} $$、$$ c_3 $ = $ \ffd{C_3}{2\:i} $$、$$ c_4 $ = $ c_4 $$と置けば、複素係数での解集合が得られる。
$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{2} $$、$$ c_2 $ = $ \ffd{C_2 - C_1}{2} $$、$$ c_3 $ = $ \ffd{C_3}{2\:i} $$、$$ c_4 $ = $ C_4 $$と置けば、複素係数での解集合が得られる。
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$
#ceq(a)
複素関数解
#ceq(d)
%bodynote
さらに解集合を実係数に限定したければ、$$ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$を三角関数で表示してから係数を制限すれば良い。
#ceq(e)
$$ c_3 $ e^{\:ix} $ + $ c_4 $ e^{-\:ix} $$
#ceq(e)
$$ = $ c_3 $ ( $ \cos $ x $ + $ \:i $ \sin $ x $ ) $ + $ c_4 $ ( $ \cos $ x $ - $ \:i $ \sin $ x $ ) $$
#ceq(a)
((オイラーの公式：$$ e^{\:i\theta} $ = $ \cos $ \theta $ + $ \;i $ \sin $ \theta $$))
#ceq(e)
$$ = $ ( $ c_3 $ + $ c_4 $ ) $ \cos $ x $ + $ ( $ c_3 $ - $ c_4 $ ) $ \:i $ \sin $ x $$
#ceq(d)
改めて$$ c_c $ = $ c_3 $ + $ c_4 $$、$$ c_s $ = $ ( $ c_3 $ - $ c_4 $ ) $ \:i $$と置いた上で、係数を全て実数に限れば、実数係数での解集合になる。
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(a)
実関数解
#ceq(d)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 検算 [#ve0779b1]
#ceq(e)
$$ y $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
;,より、
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x}\;$$
$$ = $ \ffd25 $ e^{2x} $ + $ \;\, $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ - $ c_c $ \sin $ x $ + $ c_s $ \cos $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $$
$$ = $ \ffd45 $ e^{2x} $ + $ 2 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ - $ c_c $ \cos $ x $ - $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^3y}{x^3} $$
$$ = $ \ffd85 $ e^{2x} $ + $ 3 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \sin $ x $ - $ c_s $ \cos $ x $$
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $$
$$ = $ \ffd{16}5 $ e^{2x} $ + $ 4 $ c_1 $ e^{x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
;,与式の左辺に代入すると、
#ceq(e)
$$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $$
#ceq(e)
$$ = $ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $ + $ 2 $ \times $ \ffd45 $ - $ 2 $ \times $ \ffd25 $ + $ \ffd15 $ \bigg) $ e^{2x} $$
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancelto{\!\!\!-\bcancel{2}}{4 \,-\, 2 \times 3} \,+ \cancelto{\bcancel{2}}{2 \times 2 \,-\, 2 \times 1} \,+\, 0 $ \bigg) $ c_1 $ e^x $$
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{1-2+2-2+1} $ \bigg) $ c_1 $ x $ e^x $$
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{1-2+2-2+1} $ \bigg) $ c_2 $ e^x $$
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_c + 2 c_s - 2 c_c - 2 c_s + c_c} $ \bigg) $ \cos $ x $$
&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_s - 2 c_c - 2 c_s + 2 c_c + c_s} $ \bigg) $ \sin $ x $$
//&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_c} $ + $ 2 $ c_s $ - $ 2 $ \cancel{c_c} $ - $ 2 $ c_s $ + $ \cancel{c_c} $ \bigg) $ \cos $ x $$
//&br;$$ + $ \bigg( $ \cancel{c_s} $ - $ 2 $ c_c $ - $ 2 $ \cancel{c_s} $ + $ 2 $ c_c $ + $ \cancel{c_s} $ \bigg) $ \sin $ x $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{\cancel{16-16}+\cancelto{\bcancel{\,5\,}}{8-4+1}}{\bcancel{\,5\,}} \; e^{2x} $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{2x} $$
#ceq(d)
変数に依らずに右辺に一致するため、得られた解は全て与式を満たす。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 簡略化した演算子法 [#n056f9fb]
;,演算子法では線形常微分の因子と解の基底の対応関係から、２階の定数係数常微分方程式の知見を４階の方程式に流用できることが知られている。
斉次方程式の一般解は基底と積分定数の線形結合に相当し、特殊解は積分定数を無視した残りの部分に相当する。
;,具体に、&color(#C00){斉次};方程式$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $ $ y_{\iro[red]*} = $ \iro[ak]{0} $$に関して、
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg) $$を持つため、一般解に基底 $$ e^x $$の項を持つ。
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^2 $$を持つため、一般解に基底$$ x $ e^x $$の項を持つ。
- 微分因子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $$を持つため、一般解に基底 $$ \cos $ x $$と$$ \sin $ x $$の項を持つ。
;,このため、微分方程式を因数分解できた時点で、斉次方程式の一般解$$ y_* $$が直ちに分かる。
#ceq(e)
⇒ $$ y_* $ = $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
;,積分定数は一般解で考慮しているため、残る特殊解$$ y_s $$は積分定数を無視した不定積分で済ませられる。
#ceq(e)
$$ y_s = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{x} $ dx^4 $$
#ceq(c)
// $$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! \cdot e^{x} $ dx^3 $$
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix} $ \cdot e^{x} $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2x-\:ix} $ dx^2 $$
#ceq(c)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix} $ \cdot $ \ffd{1}{2-\:i} $ e^{2x-\:ix} $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{2x+\:ix} $ dx $$
#ceq(c)
$$ = $ e^{-\:ix} $ \ffd{1}{2-\:i} $ \ffd{1}{2+\:i} $ e^{2x+\:ix} $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{2-\:i} $ \ffd{1}{2+\:i} $ e^{2x} $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
#ceq(d)
;,もしくは、特殊解は右辺を基底とする項を持つ事実を利用し、$$ y_s $ = $ k $ e^{2x} $$と置いて非斉次方程式に放り込んでも特殊解が決まる。
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ k $ e^{2x} $ \bigg) $ = $ e^{2x} $$
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \ffd{16}5 $ - $ 2 $ \times $ \ffd85 $ + $ 2 $ \times $ \ffd45 $ - $ 2 $ \times $ \ffd25 $ + $ \ffd15 $ \bigg) $ k $ = $ 1 $$
#ceq(a)
検算と同じ計算
#ceq(e)
$$ \bigg( $ \cancel{16-16} $ + $ \cancelto{5}{8-4+1\;\;}\!\!\!\bigg) \;\cdot $ k $ = $ 1 $$
#ceq(e)
$$ k $ = $ \ffd15 $$
#ceq(e)
$$ y_s $ = $ \ffd15 $ e^{2x} $$
#ceq(d)
これより非斉次方程式の一般解$$ y $$を、特殊解$$ y_s $$と斉次方程式の一般解$$ y_* $$の和として作り出す。
#ceq(e)
$$ y $ = $ y_s $ + $ y_* $$
$$ = $ \ffd15 $ e^{2x} $ + $ c_1 $ x $ e^{x} $ + $ c_2 $ e^{x} $$
$$ + $ c_c $ \cos $ x $ + $ c_s $ \sin $ x $$
#ceq(d)
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