倍角行列の大きさ の変更点

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* 背景 [#h0b61dd6]
;,任意の角度$$ \theta $$の 1 〜 9 倍角の正弦または余弦を成分とする3×3行列の行列式が 0 である。
#ceq(e)
$$$ 
  \left|
  \arr[ccc]{
      \sin1\theta & \sin2\theta & \sin3\theta
   \\ \sin4\theta & \sin5\theta & \sin6\theta
   \\ \sin7\theta & \sin8\theta & \sin9\theta
  }
  \right|
  = 0
$$$
#ceq(c)
#ceq(c)
$$$
  \left|
  \arr[ccc]{
      \cos1\theta & \cos2\theta & \cos3\theta
   \\ \cos4\theta & \cos5\theta & \cos6\theta
   \\ \cos7\theta & \cos8\theta & \cos9\theta
  }
  \right|
  = 0
$$$
#ceq(d)

* 和積による証明 [#a463a0ac]

;,行ベクトルまたは列ベクトルと見なとき、任意の2本は平行関係に無いため、
;,3本の一次従属を示すことになる。

;,角度が$$ \theta $$ずつ増えているため、1行目と3行目の和で2列目の倍を作れるのが分かる。
;,正弦関数が掛かっても和積として同じ角度を作れる。
;,実際にやってみると、列ベクトルで考えた場合、
#ceq(e)
  $$ \sin1\theta $ + $ \sin3\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{1\theta+3\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-3\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin2\theta $$
#ceq(e)
  $$ \sin4\theta $ + $ \sin6\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{4\theta+6\theta}2 $ \cos\ffd{4\theta-6\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin5\theta $$
#ceq(e)
  $$ \sin7\theta $ + $ \sin9\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{7\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{7\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin8\theta $$
#ceq(d)

;,2列目が1列目と3列目の線形和で表されるため、行列式は$$ 0 $$になる。
;,なお、$$ \cos2\theta $ = $ 0 $$のとき、1列目と3列目が逆符号で一次従属関係になる。

;,行ベクトルで考えても同じ。
#ceq(e)
  $$ \sin1\theta $ + $ \sin7\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{1\theta+7\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-7\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin4\theta $$
#ceq(e)
  $$ \sin2\theta $ + $ \sin8\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{2\theta+8\theta}2 $ \cos\ffd{2\theta-8\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin5\theta $$
#ceq(e)
  $$ \sin3\theta $ + $ \sin9\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{3\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{3\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin6\theta $$
#ceq(d)

;,余弦の方も同様に和積で一次従属を経由して証明できる。
;,丁度$$ \sin $$を$$ \cos $$に置きかえった形になる。
#ceq(e)
  $$ \cos1\theta $ + $ \cos3\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{1\theta+3\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-3\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos2\theta $$
#ceq(e)
  $$ \cos4\theta $ + $ \cos6\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{4\theta+6\theta}2 $ \cos\ffd{4\theta-6\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos5\theta $$
#ceq(e)
  $$ \cos7\theta $ + $ \cos9\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{7\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{7\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos8\theta $$
#ceq(d)
;,または、
#ceq(e)
  $$ \cos1\theta $ + $ \cos7\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{1\theta+7\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-7\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos4\theta $$
#ceq(e)
  $$ \cos2\theta $ + $ \cos8\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{2\theta+8\theta}2 $ \cos\ffd{2\theta-8\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos5\theta $$
#ceq(e)
  $$ \cos3\theta $ + $ \cos9\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{3\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{3\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos6\theta $$
#ceq(d)


* [#z7306299]