偏微分/偏微分と偏微分の違い の変更点

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/偏微分と偏微分の違い
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* 直感的な説明：偏微分の数え方 [#kdd3351c]

以下では、偏微分の矛盾を$$ f $ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$という具体例を用いて、直観的に纏めてみる。

まず、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を少しずつ代入すると次の変形が得られる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(a)
    与式
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(a)
    $$ y $ = $ 3t $$を用いて、１つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(a)
    もう１つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x}\!\!\! $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(a)
    $$ x $ = $ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
#ceq(end)

それぞれの式から次の偏微分が考えられる：
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]{6t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[pk]{6} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ + $ \iro[mr]{9t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mr]{9} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ \phantom{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y}\!\!\! $ \phantom+ $ \iro[ao]{11t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{11} $ = $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)

その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも作れる。
#ceq(e)
    $$ f $$
#ceq(c)
    $$ = $ \iro[ao]{-1x} $ \phantom+\!\!\!\! $ \phantom{1y}\!\!\! $ + $ \iro[mz]{13t} $$
#ceq(q)
    ⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mz]{13} $$
#ceq(end)

|&attachref(./ベクトル.pptx,25%);|
//|&attachref(./ベクトル.pptx,25%);|

纏めると：
+ 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
+ それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
+ $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である

これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。


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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。

この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。

//実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
//そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。
//それでも全ての偏微分を書き分けられないが、
//次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。
//
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

//$$ + $$
//$$ - $$
//$$ = $$
//$$ \iro[ao]{=} $$
//$$ \iro[mz]{0} $$
//$$ \iro[md]{\cdots} $$
//$$ \iro[or]{\cdots} $$

//$$ df $$
//$$ \iro[pk]{dy} $$
//$$ \iro[mr]{dy} $$
//$$ \iro[ao]{dx} $$
//$$ \iro[ao]{-1dx} $$
//
//$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
//
//$$ \iro[ak]{dt} $$
//$$ \iro[pk]{dt} $$
//$$ \iro[mr]{dt} $$
//$$ \iro[ao]{dt} $$
//$$ \iro[mz]{dt} $$
//
//$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $$