１階線形常微分演算子 のソース

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%indent
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* 凌宮表記術：$$ F $$の線形微分： $$ D._a \,y \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ [#xade70b5]
 
定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)
 
;,定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
;,微分演算子$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$による演算子法が工学で多用される：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $$
#ceq(end)
 
;,微分演算子$$ D $$を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱いやすくなる。
;,しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子$$ (D+a) $$にある。
;,特に$$ (D+a)^{-1} $$を計算する際、不定積分を意味する$$ D^{-1} $$への変換が重要になる。
 
;,これに対し、凌宮数学では、$$ (D+a) $$を纏めて１つの演算子として表記する
;,((凌宮数学では演算子であることを明示するため、前置演算子と後置演算子を区別するため、演算子の作用対象側に「$$.$$」を配置する。前置演算子で作用対象が判断できる場合、「$$.$$」を省けば一般的な式になる。))：
#ceq(e)
  １階線形常微分演算子：　$$ D._a $ \equiv $ \ddd{}{x} $ + $ a $$
#ceq(e)
  １階線形常微分方程式：　$$ D._a $ y $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ D._a^{-1} $ R $$
#ceq(end)
 
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* $$ D_a $$と$$ D_0 $ = $ D $$の相互変換 [#x1878c34]
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** 指数変換演算子： $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#ja535ebe]
 
;,前述の通り、$$ D_a^{-1} $$を計算するには、不定積分を意味する$$ D_{\iro[ak]{0}}^{-1} $$に変換する必要がある。
;,その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
;,まず、$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
;,不定積分を$$ D._0^{-1} $$に直すと、$$ y $ = $ e^{ax} $ D._0^{-1} $ e^{ax} $ R $$が得られる。
 
;,これと、$$ D._a $$で記述される解$$ y $ = $ D._a^{-1} $ R $$と比較すれば、演算子の変換式が得られる：
#ceq(e)
  $$ D._a^{-1} $ = $ e^{-ax} $ D._0^{-1} $ e^{ax} $$
#ceq(end)
 
;,この変換式は、$$ D_a^{-1} $$を$$ e^{-ax} $$、$$ D_0^{-1} $$、$$ e^{ax} $$の３つの演算に分解しているように扱える。
;,そこで、凌宮数学では、$$ e^{ax} $$を指数変換演算子として表記する：
#ceq(e)
  $$ E_a $ \equiv $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,一方で、$$ e^{-ax} $$は自ずと$$ a $$を$$ -a $$に置換した$$ E_{-a} $$になる。
;,さらに、$$ E_a $ E_{-a} $ = $ e^{ax} $ e^{-ax} $ = $ 1 $$であるため、$$ E_a $$と$$ E_{-a} $$が互いに逆演算である。
#ceq(e)
  $$ E_a^{-1} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)
 
;,指数変換演算子を使えば、複合的な演算子$$ D_a^{-1} $$を３つの基本的な演算に分解できる：
#ceq(e)
  $$ D_a^{-1} $ = $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $$
#ceq(end)
 
%bodynote
 
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** 線形微分演算子と指数変換演算子の通過則（交換則） [#p4789f68]
 
;,これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子$$ D_a $$と$$ D_0 $$の変換式を得た。
;,そこで、$$ (D_a^{-1})^{-1} $ = $ D_a $$の関係より、正変換の変換式を作れる。
#ceq(e)
  $$ D_a $$
#ceq(c)
  $$ (D_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ = $ ( $ E_{-a} $ D_0^{-1} $ E_{a} $ )^{-1} $$
#ceq(a)
  逆演算子$$ D_a^{-1} $$を分解
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ = $ (E_{a})^{-1} $ (D_0^{-1})^{-1} $ (E_{-a})^{-1} $$
#ceq(a)
  演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ = $ E_{-a} $ D_0 $ E_{a} $$
#ceq(end)
 
 
 
 
 
 
* [#wc5ce8c9]
 
 
 
 
 
未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：
- 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
- 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる
 
そうすると、上記解答は次のように見える：
#ceq(e)
  $$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
  $$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  原方程式
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  積の微分に嵌める（不定積分を実行）
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  １つの微分に纏める（部分積分を実行）
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  積分する
#ceq(e)
  ⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
 
 
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：
 
- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
- 互いに逆演算
 
- ;,線形微分演算子$$   D_a $$を$$   D_a $ y $ \equiv $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ a $ \bigg) $$と定義し、
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と定義すると、
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $ = $ I_a $ \iro[gy]R $$
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$
 
 
 
* 【編集中】 [#wb82b5bd]
- 問題： 定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
-- 場合分けを３つ覚える羽目になる
-- $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $ = $ x $ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
- 現状： １階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
-- １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
- 依存関係： 
-- ２階線形常微分方程式の基本的解法
-- ２階線形常微分演算子
-- １階線形常微分演算子×２回に変換
-- １階線形常微分演算子を定義
-- １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常''積''分演算子として定義
-- １階線形常積分演算子×２回を適応 
- 確認事項：
-- １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
-- ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- 展望：
-- 高階線形常微分方程式の演算子法
-- 演算子法の限界