１次元自然数ベクトル のソース

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* 執筆中 [#rdde1994]
論理の組み立て方に結構問題あり！
 
* [#sbbef9d3]
;,小学校では、算数を１から教え、自然数、ゼロの順に続く。
;,しかし、大学ではベクトルを１から教えられることもなければ、自然数もない。
;,いきなり、２次元の実数から苦戦する羽目になる。
 
;,凌宮数学のベクトルは１次元の自然数から始まる。
;,それは誰もが小学校で学んでいるものだ。
;,やさしく始めよう。
 
* １次元自然数 [#y68be61b]
|*図１|
| &ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%); |t=:
 
※「&ref(./Apple.png,8%);」はリンゴである。
 
;,図１について「リンゴを数えて」と言われば、「１、２、３、４」と数えるのが正解。
;,１、２、３、４は自然数と呼ばれる数字だから、数えているのは「（リンゴの）数」になる。
 
* １次元自然量？ [#lb2a5e52]
- 靴４足を図に出す
- １、２、３、４ ⇒１足、２足、３足、４足 の数え方を示す
- １、２ ⇒ １組、２組 の数え方を示す。
- 数だけでは混乱する
- 数と単位の組み合わせでハッキリ表す必要がある
- （単位が１種類しかない考えられない場合（図１）は省略可能と考えるべし）
- 数と単位の組み合わせが量と呼ばれるもの
 
* １次元自然数ベクトル [#u6583d20]
- １次元自然量はベクトルの条件を満たす ⇒ ベクトル扱いができる
- これが学生が一番最初に取り扱うベクトルとなる
- １次元で自然数であるため、２次元で実数の幾何ベクトルよりは具体的で捕らえやすい
- 数と単位は乗算関係
-- 対数軸や曲線座標系の場合を要考慮
 
** 成分出し：成分＝ベクトル／基底 [#u5d90ca1]
- 靴の例に「２組＝４足」の状態から、「２」と「４」を抜きとる記号
- 状態を「全部」と定義
-- 「図ｎ」とか具体的なのが良いが、余計な数字が含まれて紛らわしいので却下
- 「全部／組＝２組／組＝２」、「全部／足＝４足／足＝４」のように成分出しを定義
 
** 単位変換＝基底変換 [#sdd404f0]
- 靴の例に「１組＝２足」を単位変換式と定義
-- 単位変換式は左右の単位が異なる等式の姿をしている
-- 単位変換式はベクトルの基底変換を記述する式と同じ姿している
- 全ての問題は、基底の定義と基底変換式（＝基底の関係）に分解できるはず（←要確認）
- ３組＝３×１組＝３×２組＝６組
-- 「組」は「１組」と同義、「３組」は「３×１組」と同義
 
//
//* ベクトル演算
//** 加算＝ベクトル加算 [#c300c96e]
//- リンゴを足し合わせる
//- 増加の文脈にならないように注意
//-- 増加は変化前と変化後の合併と見なせるため、余計な概念が入るため悪い
//-- 変化前と変化後を区別するため、ベクトル加法の交換則の発見に悪い
//
//** 乗算 [#o3b5ff73]
//- 靴の例に「１組あたり２足」を「２足／組」と変換係数を定義
//-- これは単位変換式から単位の除算で「１＝２足／組」に変換した結果に一致
//- 変換係数は量としては無次元の１である
//-- ⇔ 変換係数を掛けても量として変わらない
//-- ⇔ 変換係数は量を変えない
//- 「２足／組 × ３組 ＝ ６足」と乗算を定義
//-- 単位計算は単位基底の計算規則を立てる or 既存のベクトルの積演算に分類する
//- 単位変換の後に書くこと
//-- 乗算は単位の除算なしで語れない恐れがあるため高難度 （←要確認・要注意）
//-- 単位変換は数値の乗算のみで、単位の除算を伴わずに済む
//--- 単位の除算が伴わずに済ませてよいかは要検討
//
//
//
//
//
//* １次元自然量 [#a507fb47]
//|*図２|
//| &ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%); |
//
//今度は図２について同じように「リンゴを数えて」と言うと、
//大抵は「１、２、３、４」
//
//
//
//
//
//* １次元自然数ベクトル [#k732c257]
//;,同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１個、２個、３個、４個」とも数えられる。
//;,この場合、数えているのは「（リンゴの）個数」になる。
//;,ここで登場する「１個、２個、３個、４個」は、もはや自然数でもなければ数字でもない。
//;,「個」は単位の一種、「１個」というのは量になる。
//
//;,同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１列」で終わらせることもできる。
//;,数え方を変えただけである。
//;,この場合、数えているのは「（リンゴの）列数」になる。
//;,このように、リンゴには「個」や「列」など色んな数え方があり、数え方を表すのが単位である。
//
//;,重要なのは、「４個」も「１列」も図１の状態を表せるが、「４」と「１」だけでは言葉足らずになる。
//;,言い換えると、図１を表すには、数では役不足であり、数と単位を組み合わせた「量」を使う必要がある。
//
//;,凌宮数学では、量の線形性を重視し、これをベクトルの一種として扱う。
//;,そして、これまでに登場した１つの自然数と１つの単位からなる量を「１次元自然数ベクトル」と呼ぶ。
//;,量の場合、ベクトルの用語を使うと、次のような読み替えができる：
//|*表１：量とベクトルの対応関係|<|<|<|
//|*ベクトル用語|*量用語|*例１|*例２|t=:
//| ベクトル    | 量    | ４個| １列|
//| 基底        | 単位  |   個|   列|
//| 成分        | 数    | ４  | １  |
//
//
//;,高が１次元の自然数ベクトルでも立派なベクトル。
//;,ベクトルである以上、ベクトルを持つ性質は全て満たしている。
//;,このため、このやさしいベクトルだけも大抵は説明できる。
//
//* ベクトル加法（足し算） [#tca6aac6]
//|*図２|*図３|
//|&nbsp;&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&nbsp;|*
//|&nbsp;&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&nbsp;|t=:
//
//;,「リンゴは図２と図３が合わせて何個？」を知りたい場合、
//;,まず図２から数えて、「１個、２個」、続けて図３から「３個、４個、５個」と答え「５個」を得る。
//;,次に図２だけを数えて「１個、２個」と「２個」、図３だけを数えて「１個、２個、３個」と「３個」を得る。
//;,これらを合わせて「２個と３個を合わせて５個」と習う。
//
//;,これを普通の数式で書くと数だけになる：
//#ceq(e)
//　　２＋３＝５
//#ceq(end)
//;,これは自然数の加法。
//
//;,数だけでは言葉足らずということを考えると、次の数式に辿りつく：
//#ceq(e)
//　　２個＋３個＝５個
//#ceq(end)
//;,これが１次元自然数ベクトルの加法である。
//
//* 倍積（スカラー倍、テンソル積） [#pd586772]
//|*図４|
//|&nbsp;&ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%);&nbsp;|
//
//;,図４について、リンゴの個数を数えば、「１個、２個、３個、４個、５個、６個」と「６個」になる。
//;,次に、それぞれの皿にあるリンゴの個数を数えると、次のようになる。
//#ceq(e)
//;,　　１枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
//;,　　２枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
//;,　　３枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
//#ceq(end)
//先ほどの加法を使えば、次のようにリンゴの個数が求まる。
//#ceq(e)
//　　２個＋２個＋２個＝６個
//#ceq(end)
//
//;,ここで重要なのは「すべての皿について、それぞれの皿にあるリンゴの個数は同じ」である。
//;,このような状態のことを、「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」と言う。
//;,凌宮数学では「２個／１枚」と書く。「／」は「あたり」を表す。
//;,さらに、これを「２個／枚」に略す。
//
//;,今度は皿の枚数を数えると「１枚、２枚、３枚」と「３枚」が得られる。
//;,そこで、「６個」と「２個／枚」と「３枚」の関係を次のように書く。
//#ceq(e)
//　　２個／枚×３枚＝６個
//#ceq(end)
//
//* 基底変換 [#d07e41aa]
//;,図４の関係についての、もう一つの考え方：
//;,「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」を「１枚＝２個」とも書き、「枚＝２個」と略す。
//;,発想としは、「１枚（の皿）」も「２個（のリンゴ）」も「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」の状態を表すと考える。
//
//;,一方で、皿の枚数を数えると「３枚」となるので、次のような計算が成り立つ：
//#ceq(e)
//　　３枚＝３×１枚＝３×２個＝６個
//#ceq(end)
//
//;,このように、基底変換でも計算として掛算が登場するが、倍積とは発想が全く異なる。
//;,同じ関係は大学まで続き、例えば置換積分と部分積分など大学生でも混乱するパターンなどに繋がる。
//