ベクトル三重積公式のソース

凌宮 > 数学 > ベクトル三重積公式
/ベクトル三重積公式
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 凌宮組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
////////////////////////////////////////////////////////////////
;,ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
;,ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出せる。
 
*** (1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解 [#q98f0a98]
 
|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
 
;,まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
;,外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$の両方に垂直のため、
;,$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を含む平面に垂直。
 
;,同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$に垂直。
;,その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
;,&font(#06C){垂直};の&font(#C00){垂直};で&font(#080){元の平面};に戻る。
 
|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|
 
;,というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$と同一平面上にある。
;,よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$に成分分解できる
((難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を平面の基底として、同平面上にある$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$を成分分解できる。))。
;,これを穴埋めの形で書くと、こうなる：
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」または「$$ - $$」の符号が入る。
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
***(2) 次元解析 ＆ スカラ積＝内積 [#tcdf37a3]
 
;,次は、$$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、$$ \:A \:B \:C $$の次元である((次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、$$ \:A $$が[m]、$$ \:B $$が[s]、$$ \:C $$が[g]とか。))。
;,よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$も$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$も３文字の掛け算であるべき。
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \spc{?}{\vx} \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \spc{?}{\vx} \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
 
;,さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自ずとスカラ積すなわち内積になる
((実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。))。
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
***(3) 極端な例で符号判定 [#y54d2ea9]
 
;,外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$であるため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスになる。
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
  交代則を成立させるには、２つの$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「＋」と「－」と逆の符号が入る。
 
;,この符号は外積の立体的な回転を２回も考える必要がある。
;,今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べれば良い。
//
//|&attachref(./符号Ax(BxC).png,30%,left,around);|&attachref(./符号ix(ixj).png,30%,left,around);|
//
//;,$$ \:B \vx \:C $$は外積であるため、結果が変らないように$$ \iro[md]{\:B} $$と垂直な$$ \iro[md]{\:C'} $$を選べる。
//;,$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$も同様、結果が変らないように$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$と垂直な$$ \iro[ao]{\:A'} $$を選べる。
//;,さらに、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C'} $$をそれぞれ直交座標系の単位ベクトル$$ \:i $$と$$ \:j $$にしても符号は変らない((大きさだけが変る。))。
//;,対して、$$ \iro[ao]{\:A'} $$は$$ \:i + \:j $$としても符号に影響を与えない(($$ \:i $$と$$ \:j $$の係数が共に正である限り、成分に含まれる符号は出てこない。))
//;,仕舞に、$$ \iro[ao]{\:A'} $$を$$ \:i $$に選んでも片方の符号は出てくる(($$ \:i + \:j $$を選んだ場合、$$(\:i + \:j) $ \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i - \:j $$になるよう//に、両方の符号が出てくるだけ。))
//
//そうすると、ベクトル三重積が、空間ベクトルの基本である単位ベクトルの定義に帰着される：
//|*正順|*逆順|
//|$$ \:i $ \vx $ \:j $ = $ \:k $$|$$ \:j $ \vx $ \:i $ = $ -\:k $$|
//|$$ \:j $ \vx $ \:k $ = $ \:i $$|$$ \:k $ \vx $ \:j $ = $ -\:i $$|
//|$$ \:k $ \vx $ \:i $ = $ \:j $$|$$ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\:j $$|
//
;,外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル$$ \:i $$、$$ \:j $$、$$ \:k $$である。
;,これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。
#ceq(e)
      $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
  &br;⇒ $$ \:i \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\:j $$
  &br;⇒ $$ -\:C $$
#ceq(a)
      $$ \:B $$⇔$$ \:i $$
  &br;$$ \:C $$⇔$$ \:j $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \:C $$の前が「$$-$$」、残る$$ \:B $$の前は「$$+$$」となる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
 
他方、紛らわしい$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$も全く同様に置換すれば良い。
#ceq(e)
      $$ (\:A \vx \:B) \vx \:C $$
  &br;⇒ $$ (\:i \vx \:j) \vx \:i $ = $ \:k $ \vx $ \:i $ = $ +\:j $$
  &br;⇒ $$ +\:B $$
#ceq(a)
      $$ \:A $$⇔$$ \:i $$
  &br;$$ \:B $$⇔$$ \:j $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \:B $$の前が「$$+$$」、残る$$ \:A $$の前は「$$-$$」となる。
#ceq(e)
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $ = $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* まとめ・つなぎ [#f167d396]
 
;,ベクトル三重積の公式$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$や$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$に関して、
;,以下の手順で公式を簡単に組み立てられる：
 
#ceq(e)
  $$ \iro[ao]{\:A} $ \vx $ (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
  $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) $ \vx $ \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(e)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (1) 平面決定・成分分解
#ceq(e)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (2) 次元決定・演算決定
#ceq(e)
  $$ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ - $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (3) 符号決定
#ceq(e)
  　　∵ &font(75%){$$ \iro[ao]{\:i} $ \vx $ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\iro[md]{\:j} $$ ⇒ $$ - $ \iro[md]{\:C} $$};
#ceq(q)
  　　∵ &font(75%){$$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $ \vx $ \iro[ao]{\:i} $ = $ \:k $ \vx $ \:i $ = $ +\iro[md]{\:j} $$ ⇒ $$ + $ \iro[md]{\:B} $$};
#ceq(a)
  　　&font(75%){簡単な特例で符号調べ};
#ceq(end)
 
;,なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は「[[ベクトル三重積公式の補足>./ベクトル三重積公式の補足]]」にて補足する。
;,また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるのは以下の３つである：
- ベクトル微分の回転$$ \:\nabla \vx $$が絡む[[回転公式>http://limg.sakura.ne.jp/LimgMath/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%C8%F9%CA%AC%B1%E9%BB%BB%BB%D2%2F%B2%F3%C5%BE%B8%F8%BC%B0]]。
&br;ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適応した表記を表現できない。
- 角運動量$$ \:L $$と角速度$$ \:\omega $$の関係式$$ \:L $ = $ m $ \:r $ \vx $ (\:\omega \vx \:r) $$((参考：[[EMANの物理学 / 力学 / 慣性モーメントテンソル >http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/mom_tensor.html]]))。
&br; ただし、これは$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $ = $ \:C $ \iro[gy]{=} $ \iro[gy]{\:r} $$となっている特殊例である。
- 空間ベクトル$$ \:A $$を$$ \:u $$方向の[[単位ベクトル]]$$ \:1_u $$に対して平行と垂直に成分分解する際の垂直ベクトル成分：
&br;　　$$ \:A $ = $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $ + $ \:A_{\perp\:1_u} $$
$$ , $$ $$ \bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_u} = (\:1_u \sx \:A)\; \:1_u & \!\!,\; \:A_{\,\parallel\:1_u} \,\parallel \:1_u \\ \:A_{\perp\:1_u} = (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u & \!\!,\; \:A_{\perp\:1_u} \perp \:1_u \end{array} $$
&br; ベクトル三重積公式がは、分解式を移項した$$ $ \:A_{\perp\:1_u} $ = $ \:A $ - $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $$に対応している：
&br; 　　$$ (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u $ = $ \cancel{(\:1_u \sx \:1_u)} $ \:A $ - $ (\:1_u \sx \:A) $ \:1_u $$
&br; ただし、これも$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $ = $ \:C $ \iro[gy]{=} $ \iro[gy]{\:1_u} $$となっている特殊例である。
 
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
ベクトル三重積公式 のソース

ベクトル三重積公式のソース
