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| | %indent
;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。
;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $$
#ceq(e)
$$ d\:r^{\wx n} $ = \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $ d\:q^{\wx m} $$
#ceq(d)
;,ベクトル積分は、考えている空間の次元$$ m $$と積分領域の次元$$ n $$により分類できる。
;,$$ m $$と$$ n $$は共に正自然数であり、$$ m $ \le $ n $$の関係にあるため、$$ m $$次元空間内では$$ \ffd{m(m+1)}{2} $$通りに分かれる。
;,例えば、3次元までのベクトル解析では、以下の6通りになる。
|>|>|>|*表1: ベクトル積分の分類|c
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ |*on $$ \mathbb{R}^2 $$ |*on $$ \mathbb{R}^3 $$ |+
| |1次元空間上の |2次元空間上の |3次元空間上の |+
| |線上の |面上の |体上の（胞上の） |
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^1 $$|$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^2 $$|$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$|+
| 1次元積分 |1次元空間上の1次元積分 |2次元空間上の1次元積分 |3次元空間上の1次元積分 |+
| 線積分 |線上の線積分 |面上の線積分 |体上の線積分 |
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| |$$ \mathbb{R}^2 $$on $$ \mathbb{R}^2 $$|$$ \mathbb{R}^3 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$|+
| 2次元積分 | |2次元空間上の2次元積分 |3次元空間上の2次元積分 |+
| 面積分 | |面上の面積分 |体上の面積分 |
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| | |$$ \mathbb{R}^3 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$|+
| 3次元積分 | | |3次元空間上の1次元積分 |+
| 体積分 | | |体上の体積分 |
;,以下では、ベクトル解析学の知見に基づき、各場合に対し変換係数を個別に定義する。
;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では、同じ表記に定義する。
;,統一表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$であり、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
;;高次元での線積分では、成分毎に１次元の変数変換を行えば良い。
;,変換先が1次元のため、$$ x $$と$$ y $$は$$ u $$のみの関数であり、
;,変換係数は常微分、つまり１変数関数の微分になる((凌宮数学では常微分と偏微分を区別しないが、一般的な数学では厳密に区別するため、注意が必要。))。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積として定義する。
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
%bodynote
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮の表記は2次元と同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $$
$$:= $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \ffd{1}{dq} $ d\:r $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積比となる。
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dv $$、
;.$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dv $$であるため、
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平行四辺形を張り、
;.面積は$$ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$。
;,よって、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $ \bigg) $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
;,これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$
#ceq(e)
ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $ = $ \left| \arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } \right| $$
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} }\right| $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロス積を用いた表現もある。
;,3次元空間上の面積分との一貫性の観点では、クロス積表記の方が優れている。
#ceq(e)
$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{x}{v} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{y}{u} \\ \ddd{y}{v} } $$
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義し、
;,次に$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ d\:q^{\wx2} $ = $ \arrs{ du \\ dv } $$の表記に合わせて、
;,1次のヤコビアンから2次のヤコビアンに変換する演算「$$ {}^{\wx2} $$」をクロス積で形式的に定義する。
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } \right]^{\wx2} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $ d\:q^{\wx2} $$
#ceq(d)
;,変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、
;,3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、クロス積を使う事態を考えると、
;,2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しやすい。
%bodynote
;;高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換すれば良い。
#ceq(e)
$$ \:S $ = $ \int_\gSg $ \arrs{ dy\,dz \\ dz\,dx \\ dx\,dy } $$
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right|du\,dv \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}du\,dv \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right|du\,dv } $$
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right| \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}\! \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right| } $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないため行列式が定義されていないため、
;,ヤコビアンを用いた変換係数の表記法はこれ以上簡潔にできない。
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$
#ceq(d)
;,ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になっているに気づく。
;,そのため、クロス積で簡潔に記述手法が広く用いられている。
#ceq(e)
$$ \:S \ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \ppd{y}{u} \ppd{z}{v} - \ppd{z}{u} \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{u} \ppd{x}{v} - \ppd{x}{u} \ppd{z}{v} \\ \ppd{x}{u} \ppd{y}{v} - \ppd{y}{u} \ppd{x}{v} } $ du $ dv $$
$$ = $ \int_\gSg $ $ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{v} } $ du $ dv $$
$$ = $ \int_\gSg $ $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、
;,1次のヤコビアンを定義してからクロス積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx2} $ = $ \arrs{ du \\ dv } $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } \right]^{\wx2} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $ d\:q^{\wx2} $$
#ceq(d)
;;一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積比となる。
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dw $ + $ \ppd{x}{w} $ dw $$、
;,$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dw $ + $ \ppd{y}{w} $ dw $$、
;,$$ dz $ = $ \ppd{z}{u} $ du $ + $ \ppd{z}{v} $ dw $ + $ \ppd{z}{w} $ dw $$、であるため、
;,$$ (u,v,w) $$座標上では、$$ dx $$,$$ dy $$,$$ dz $$が平行六面体を張り、
;,体積はヤコビアンまたはベクトルのスカラ三重積で表せる。
#ceq(e)
$$ dx $ dy $ dz $ = $ \left| \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right| $ du $ dv $ dw $$
#ceq(d)
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} $ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } $$
#ceq(e)
ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$
$$ = $ \left| \arr[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } \right| $$
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{v} } $ \sx $ \arrs{ \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{w} } $$
$$ = $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\:r}{w} $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $ dz $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $ du $ dv $ dw $$
$$ = $ \int_\gSg $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\:r}{w} $ du $ dv $ dw $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、
;,1次のヤコビアンを定義してからスカラ三重積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx3} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx3} $ = $ \arrs{ du \\ dv \\ dw } $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} \\ \ffd{1}{dw} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx3} $$
$$ = $ \left[ \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right]^{\wx3} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } \sx $ \arrs{ \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{w} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx3} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx3} $ d\:q^{\wx3} $$
#ceq(d)
;,以下に、表記毎に纏める。
;,3次元のベクトル解析で扱う空間と積分は以下の6通り。
;,$$ m $$次元空間上の$$ n $$次元積分：$$ \mathbb{R}^m $$ on $$ \mathbb{R}^n $$では、
;,統一的に$$ \int_\gDl $ d\:r^n $ = $ \int_\gDl $ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right) $ d\:q^m $$で表せる。
|* |*on $$ \mathbb{R}^1 $$ |*on $$ \mathbb{R}^2 $$ |*on $$ \mathbb{R}^3 $$ |
|*$$ \mathbb{R}^1 $$|1次元空間上の1次元積分&br;線上の線積分|2次元空間上の1次元積分&br;面上の線積分|3次元空間上の1次元積分&br;体上の線積分|
|*$$ \mathbb{R}^2 $$| |2次元空間上の2次元積分&br;面上の面積分|3次元空間上の2次元積分&br;体上の面積分|
|*$$ \mathbb{R}^3 $$| | |3次元空間上の3次元積分&br;体上の体積分|
|
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