三角公式の高速導出 のソース

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* 基礎 [#na61724d]
** 和差算 [#a4e93846]
 
||lx:|lx:|c
|$$ S $ = $ A $ + $ B $$|$$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right\} $ \Leftrightarrow $ \left\{\rule{0pt}{5ex}\right. $$|$$ A $ = $ \ffd{S + D}{2} $$|
|$$ D $ = $ A $ - $ B $$|^ |$$ B $ = $ \ffd{S - D}{2} $$|tx:
 
;,これは瞬時に書けるように練習。
;,変換を３回も使うので、導出速度の決め手となる。
 
** 加法定理 [#t05bf31e]
 
||lx:|lx:|c
|#01||$$ \csin(\alpha \iro[ao]+ \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ao]+ $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$|
 
;,これは暗記。
;,符号は全て$$ + $$、$$ \csin $$と$$ \ccos $$、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が対称的で、一番ミスし難い式。
 
||lx:|lx:|c
|#02||$$ \csin(\alpha \iro[ak]- \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ak]- $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$|
 
;,$$ \beta $$を符号反転。
;,右辺は$$ \beta $$の符号に影響される$$ \csin $$のみ符号反転。
;,$$ \ccos $$は影響されない。
 
||lx:|lx:|c
|#03||$$ \ccos(\alpha $ \iro[ao]+ $ \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$|
|#04||$$ \ccos(\alpha $ \iro[ak]- $ \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \iro[mr]+ $ \csin \alpha $ \csin \beta $$|tx:
 
''微分が扱える場合''：
;,#01と#02を$$ \alpha $$で微分して#03と#04を導く。$$ \beta $$は定数扱い。
;,左辺は、$$ \csin $$から$$ \ccos $$の書き換え。
- $$ \csin(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow $ (\csin(\alpha \pm \beta))^{\prime \alpha} $ = $ \ccos(\alpha \pm \beta) $$
 
;,右辺は、
- $$ \csin \alpha $ \Rightarrow $ (\csin \alpha)^{\prime} $ = $ \ccos \alpha $$
- $$ \ccos \alpha $ \Rightarrow $ (\ccos \alpha)^{\prime} $ = $ \iro[ak]- $ \csin \alpha $$。
 
 
 
''余角が扱える場合'':
;,#01と#02に$$ \alpha $$に$$ 90^\circ\!- \alpha $$を代入して#03と#04を導く。
;,左辺は$$ \beta $$の符号反転に注意。#01が04、#02が#03になる。
- $$ \csin(\alpha $ \iro[ao]+ $ \beta) $ \Rightarrow $ \csin(90^\circ\!- \alpha $ \iro[ao]+ $ \beta) $ = $ \csin(90^\circ\!- (\alpha $ \iro[ak]- $ \beta )) $ = $ \ccos(\alpha $ \iro[ak]- $ \beta) $$
- $$ \csin(\alpha $ \iro[ak]- $ \beta) $ \Rightarrow $ \csin(90^\circ\!- \alpha $ \iro[ak]- $ \beta) $ = $ \csin(90^\circ\!- (\alpha $ \iro[ao]+ $ \beta )) $ = $ \ccos(\alpha $ \iro[ao]+ $ \beta) $$
 
- $$ \csin \alpha $ \Rightarrow $ \csin(90^\circ\!- \alpha) $ = $ \ccos \alpha $$
- $$ \ccos \alpha $ \Rightarrow $ \ccos(90^\circ\!- \alpha) $ = $ \csin \alpha $$