四面体の辺長による体積計算 のソース

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%indent
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* 四面体の３隣辺が張る平行六面体の体積への読み替え [#g1db3089]
;,辺長が$$ 1 $$の立方体の１頂点を原点Ｏに選び、隣り合う３点をＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶと、
;,四面体ＯＡＢＣの体積は$$ \ffd16 $$と算出できる。
 
;,立方体をＯＡ方向、ＯＢ方向、ＯＣ方向にそれぞれ$$ a $$倍、$$ b $$倍、$$ c $$倍すると、
;,体積が共に$$ abc $$倍された長方形と（歪んだ）四面体が得られるが、
;,四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
;,ただし、幾何的必要性から、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$は共に$$ 0 $$以上の実数とする。
 
;,同様に、∠ＡＯＢ、∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡの角度をぞれぞれ$$ \alpha $$倍、$$ \beta $$倍、$$ \gamma $$倍すると、
;,形は歪み、体積も変わるが、四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
;,ただし、幾何的必要性から、$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$は共に$$ 0 $$以上かつ$$ 1 $$以下の実数とする。
 
;,以上の変形により、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$と$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$の計６つの自由度を作り出している。
;,これは、四面体の６つの辺を幾何的制約の元で自由に選べる自由度と一致する。
;,このため、以上６つのパラメータで任意の四面体を作ることが可能であり、
;,以下の議論は一般性を失わないことと言える((厳密には、幾何的制約まで評価する必要があるが、後回しにする))。
 
;,従って、四面体ＯＡＢＣの体積$$ v $$を求めるには、
;,平行六面体の体積$$ V $$を求めてから、$$ \ffd16 V $$と割れば良い。
 
%bodynote
 
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* 平行六面体の体積 [#ab9f7493]
 
;,原点Ｏとする３次元空間上の３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれ$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$とする。
;,点ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡへのベクトルをそれぞれ$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$とする。
;,四辺形の全ての辺長が分かることは、各ベクトルの大きさを全て既知であることを意味する。
 
;,すると、三角形ＡＯＢ、ＢＯＣ、ＣＯＡのそれぞれで点Ｏを頂点とする余弦定理を考えると、
;,$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$の大きさを$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積に交換できる。
#ceq(e)
　　$$ \:a $ \sx $ \:b $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:a|^2 $ + $ |\:b|^2 $ - $ |\:d|^2 $ ) $$
#ceq(e)
　　$$ \:b $ \sx $ \:c $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:b|^2 $ + $ |\:c|^2 $ - $ |\:e|^2 $ ) $$
#ceq(e)
　　$$ \:c $ \sx $ \:a $ = $ \ffd12 $ ( $ |\:c|^2 $ + $ |\:a|^2 $ - $ |\:f|^2 $ ) $$
#ceq(d)
 
;,簡潔のため、
$$ a $ = $ |\:a|^2 $$、$$ b $ = $ |\:b|^2 $$、$$ c $ = $ |\:c|^2 $$、
$$ d $ = $ - $ |\:d|^2 $$、$$ e $ = $ - $ |\:e|^2 $$、$$ f $ = $ - $ |\:f|^2 $$とする。
 
#ceq(e)
　　$$ \:a $ \sx $ \:b $ = $ \ffd12 $ ( $ a $ + $ b $ + $ d $ ) $$
#ceq(e)
　　$$ \:b $ \sx $ \:c $ = $ \ffd12 $ ( $ b $ + $ c $ + $ e $ ) $$
#ceq(e)
　　$$ \:c $ \sx $ \:a $ = $ \ffd12 $ ( $ c $ + $ a $ + $ f $ ) $$
#ceq(d)
 
;,平行六面体の３辺$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積が分かれば、体積は行列で求まる。
;,ベクトル$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$を３列とする行列$$ \:S $$を考えると、平行六面体の体積は$$ \:S $$の行列式$$ |\:S| $$となる。
;,その自乗$$ |\:S|^2 $$は、$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積の式になる。
 
#ceq(e)
  $$ V^2 $$
#ceq(c)
  $$ = $$
#ceq(c)
  $$ |\:S|^2 $ = $ |\:S^{\textrm{T}}\:S| $$
#ceq(c)
  $$ = $$
#ceq(c)
  $$$
    \left| \left[
    \begin{array}{ccc} \; & \:a & \; \\ \;  & \:b & \;  \\ \; & \:c & \; \end{array} \right]
    \!\!\! \left[
    \begin{array}{ccc} \; & \;  & \; \\ \:a & \:b & \:c \\ \; & \;  & \; \end{array} \right]
    \right|
  $$$
#ceq(c)
  $$ = $$
#ceq(c)
  $$$
    \left|
    \begin{array}{ccc}
      \:a\sx\:a & \:a\sx\:b & \:a\sx\:c \\
      \:b\sx\:a & \:b\sx\:b & \:b\sx\:c \\
      \:c\sx\:a & \:c\sx\:b & \:c\sx\:c
    \end{array}
    \right|
  $$$
#ceq(d)
 
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* 行列計算 [#t0b752c2]
 
#ceq(e)
  $$ V^2 $$
#ceq(c)
  $$ = $$
#ceq(c)
  $$$
    \left|
    \begin{array}{ccc}
                a                & \ffd12 (  a  +  b  -  d  ) & \ffd12 (  c  +  a  -  f  ) \\
      \ffd12 (  a  +  b  -  d  ) &                 b          & \ffd12 (  b  +  c  -  e  ) \\
      \ffd12 (  c  +  a  -  f  ) & \ffd12 (  b  +  c  -  e  ) &                 c            
    \end{array}
    \right|
  $$$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ = $$
#ceq(c)
  $$$
    \ffd1{2^3}
    \left|
    \begin{array}{ccc}
      2a              &  a  -  b  +  d  &  c  +  a  -  f  \\
       a  +  b  -  d  &       2b        &  b  +  c  -  e  \\
       c  +  a  -  f  &  b  -  c  +  e  &       2c          
    \end{array}
    \right|
  $$$
#ceq(d)
#ceq(e)
  $$ 2^3 $ V^2 $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
&br;$$ $$
#ceq(c)
    $$ = $ ( $ 2a $ ) $ ( $ 2b $ ) $ ( $  2c $ ) $$
&br;$$ + $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $$
&br;$$ + $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $$
&br;$$ - $ ( $ 2a $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2b $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2c $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ )^2 $$
#ceq(c)
    $$ = $ 8abc $$
&br;$$ + $ abc + aba - abf  +  acc + aca - acf - aec - aea + aef $$
&br;$$ + $ bbc + bba - bbf  +  bcc + bca - bcf - bec - bea + bef $$
&br;$$ - $ dbc - dba + dbf  -  dcc - dca + dcf + dec + dea - def $$
 
&br;$$ + $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ ) $$
&br;$$ - $ ( $ 2a $ ) $ ( $ b $ + $ c $ - $ e $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2b $ ) $ ( $ c $ + $ a $ - $ f $ )^2 $$
&br;$$ - $ ( $ 2c $ ) $ ( $ a $ + $ b $ - $ d $ )^2 $$
#ceq(d)