正弦減法とベクトル外積 のソース

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* [#ud5e622e]
 
;,正弦関数と言えばベクトル外積で、平方四辺形の面積。
;,これらを繋げると、正弦減法がベクトル外積の成分計算に対応する。
 
|l:*図１： 正弦減法とベクトル外積|h
|&attachref(./正弦減法.png,33%);|
 
;,原点$$ \iro[md]O $$、横軸$$ \iro[md]x $$、縦軸$$ \iro[md]y $$の２次元平面を考える。
;,単位円上に２点$$ \iro[ak]A $$と$$ \iro[ao]B $$があり、$$ \iro[md]x $$軸から偏角がそれぞれ$$ \iro[ak]\alpha $$と$$ \iro[ao]\beta $$とする。
;,３点$$ \iro[md]O $$と$$ \iro[ak]A $$、$$ \iro[ao]B $$を頂点とする平方四辺形を考え、その面積を$$ \iro[mr]S $$とする。
 
;,すると、
;,三角関数で書けば$$ \iro[mr]S $ = $ \clr[mr]{\sin(\alpha - \beta)} $ = $ \iro[ak]{\sin\alpha} $ \iro[ao]{\cos\beta} $ - $ \iro[ak]{\cos\alpha} $ \iro[ao]{\sin\beta} $$
;,ベクトル外積で書けば$$ \iro[mr]S $ = $ \clr[mr]{B \vx A} $ = $ \iro[ao]{B_x} $ \iro[ak]{A_y} $ - $ \iro[ao]{B_y} $ \iro[ak]{A_x} $$
 
 
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*** 左辺の対応 [#sdc7be68]
 
;,$$ \iro[ak]A $$と$$ \iro[ao]B $$は平方四辺形の２辺であるため、面積$$ S $$は$$ \clr[mr]{B \vx A} $$と表せる。
;,また、$$ \iro[ak]A $$と$$ \iro[ao]B $$の挟み角が$$ \clr[mr]{\alpha - \beta} $$であるため、$$ \clr[mr]S $ = $ |\iro[ak]{A}| $ |\iro[ao]{B}| $ \clr[mr]{\sin(\alpha - \beta)} $$。
;,今単位円について考えているので、$$ |\iro[ak]{A}| $ = $ |\iro[ao]{B}| $ = $ 1 $$。
;,以上より、$$ S $ = $ \clr[mr]{\sin(\alpha - \beta)} $$になる。
 
;,ここで、外積の向きが要注意。
;,通常、アルファベット順に$$ A \vx B $$と書きたいところだが、
;,$$ \alpha $ > $ \beta $$の場合、$$ S $ > $ 0 $$とするには$$ \clr[mr]{B \vx A} $$の順が必要。
 
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*** 右辺の対応 [#c95ddd89]
 
;,一般に、偏角が$$ \theta $$の単位ベクトルは$$ (\cos\theta, \sin\theta) $$で成分表示できる。
- $$ \iro[ak]{A} $ = $ \iro[ak]{(A_x, A_y)} $ = $ \iro[ak]{(\cos\alpha, \sin\alpha)} $$
- $$ \iro[ao]{B} $ = $ \iro[ao]{(B_x, B_y)} $ = $ \iro[ao]{(\cos\beta, \sin\beta)} $$
 
;,右辺は既述の順序に違いがあるが、対応した成分計算となっている。
 
 
 
 
 
 
 
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