定数係数２階線形常微分方程式/Dx43y=-3 のソース

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%indent
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* 【執筆中】$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$ [#c5d10639]
** 固有値が実数２つ、同次形で共鳴 [#r90b0b40]
 
#ceq(e)
    $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-3x} $$
#ceq(a)
    式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg) $ y $ = $ e^{-3x} $$
#ceq(a)
    式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 3 $ \bigg)^{\!\!-1} $ e^{-3x} $$
#ceq(a)
    式3： 逆演算子表記
    ((演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $ = $ B^{-1} $ A^{-1} $$と逆順になるが、定数係数の１階線形常微分演算子$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ k $ \bigg) $$は可換なため順番は自由。))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $ \cdot $ e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x} $ \cdot $ e^{-3x} $ dx $ dx $$
#ceq(a)
    式4： 逆演算子を積分に置換
    ((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(a)
    式5： ２階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
    $$ y $ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \int $ dx^2 $$
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-x} $ \int $ e^{-2x} $ \bigg[ $ x $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-x} $ \int $ \bigg( $ x $ e^{-2x} $ \ + $ C_1 $ e^{-2x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(a)
    式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
    ((積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任意定数を含む基本解を先に書く習慣があるため、。))
    (($$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算は補足を参考。))
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-x} $ \bigg[ $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-2x} $ + $ \ffd{1}{(-2)^2} $ e^{-2x} $ + $ \ffd{C_1}{-2} $ e^{-2x} $ + $ C_2 $ \bigg] $$
#ceq(e)
    　$$ = $ \ffd{1}{-2} $ x $ e^{-3x} $ + $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg) $ e^{-3x} $ + $ C_2 $ e^{-x} $$
#ceq(a)
    式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ \bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg) $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。
#ceq(e)
   $$ y $ = $ -\ffd{1}{2}x $ e^{-3x} $ + $ c_1 $ e^{-3x} $ + $ c_2 $ e^{-x} $$
#ceq(a)
    式8： 積和形の一般解
#ceq(end)
 
%bodynote
 
** 補足$$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$の計算 [#u0ffc38a]
#ceq(e)
    $$ \int $ x $ e^{\lambda x} $ dx $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ x $ \ddd{(e^{\lambda x})}{x} $ dx $$
#ceq(a)
    部分積分：$$ \int $ e^{\lambda x} $ dx $ = $ \ffd{1}{\lambda} $ e^{\lambda x} $ + $ C_0 $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ \int $ \bigg( $ \ddd{(xe^{\lambda x})}{x} $ - $ \bcancel{\ddd{x}{x}} $ e^{\lambda x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(a)
    $$ \ddd{(fg)}{x} $ = $ \ddd{f}{x} $ g $ + $ f $ \ddd{g}{x} $$を利用（$$ f $ = $ x $$、$$ g $ = $ e^{\lambda x} $$）
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{\lambda} $ x $ e^{\lambda x} - $ \ffd{1}{\lambda^2} $ e^{\lambda x} $ + $ C $$
#ceq(a)
    積分実行、$$ C $$は積分定数
#ceq(end)
 
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* つなぎ [#ec86a775]
- [[定数係数２階線形常微分方程式]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数２つ、同次形）>../Dx43y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数１つ、同次形）>../Dx44y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が虚数２つ、同次形）>../Dx45y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で非共鳴）>../Dx43y=-4]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で共鳴）>../Dx43y=-3]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};（固有値が実数１つ、非同次形で共鳴）>../Dx44y=-2]]
 
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