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| | %indent
;,任意の角度$$ \theta $$の 1 〜 9 倍角の正弦または余弦を成分とする3×3行列の行列式が 0 である。
#ceq(e)
$$$
\left|
\arr[ccc]{
\sin1\theta & \sin2\theta & \sin3\theta
\\ \sin4\theta & \sin5\theta & \sin6\theta
\\ \sin7\theta & \sin8\theta & \sin9\theta
}
\right|
= 0
$$$
#ceq(c)
#ceq(c)
$$$
\left|
\arr[ccc]{
\cos1\theta & \cos2\theta & \cos3\theta
\\ \cos4\theta & \cos5\theta & \cos6\theta
\\ \cos7\theta & \cos8\theta & \cos9\theta
}
\right|
= 0
$$$
#ceq(d)
;,行ベクトルまたは列ベクトルと見なとき、任意の2本は平行関係に無いため、
;,3本の一次従属を示すことになる。
;,角度が$$ \theta $$ずつ増えているため、1行目と3行目の和で2列目の倍を作れるのが分かる。
;,正弦関数が掛かっても和積として同じ角度を作れる。
;,実際にやってみると、列ベクトルで考えた場合、
#ceq(e)
$$ \sin1\theta $ + $ \sin3\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{1\theta+3\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-3\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin2\theta $$
#ceq(e)
$$ \sin4\theta $ + $ \sin6\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{4\theta+6\theta}2 $ \cos\ffd{4\theta-6\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin5\theta $$
#ceq(e)
$$ \sin7\theta $ + $ \sin9\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{7\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{7\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \sin8\theta $$
#ceq(d)
;,2列目が1列目と3列目の線形和で表されるため、行列式は$$ 0 $$になる。
;,なお、$$ \cos2\theta $ = $ 0 $$のとき、1列目と3列目が逆符号で一次従属関係になる。
;,行ベクトルで考えても同じ。
#ceq(e)
$$ \sin1\theta $ + $ \sin7\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{1\theta+7\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-7\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin4\theta $$
#ceq(e)
$$ \sin2\theta $ + $ \sin8\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{2\theta+8\theta}2 $ \cos\ffd{2\theta-8\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin5\theta $$
#ceq(e)
$$ \sin3\theta $ + $ \sin9\theta $ = $ 2 $ \sin\ffd{3\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{3\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \sin6\theta $$
#ceq(d)
;,余弦の方も同様に和積で一次従属を経由して証明できる。
;,丁度$$ \sin $$を$$ \cos $$に置きかえった形になる。
#ceq(e)
$$ \cos1\theta $ + $ \cos3\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{1\theta+3\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-3\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos2\theta $$
#ceq(e)
$$ \cos4\theta $ + $ \cos6\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{4\theta+6\theta}2 $ \cos\ffd{4\theta-6\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos5\theta $$
#ceq(e)
$$ \cos7\theta $ + $ \cos9\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{7\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{7\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos2\theta $ \cdot $ \cos8\theta $$
#ceq(d)
;,または、
#ceq(e)
$$ \cos1\theta $ + $ \cos7\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{1\theta+7\theta}2 $ \cos\ffd{1\theta-7\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos4\theta $$
#ceq(e)
$$ \cos2\theta $ + $ \cos8\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{2\theta+8\theta}2 $ \cos\ffd{2\theta-8\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos5\theta $$
#ceq(e)
$$ \cos3\theta $ + $ \cos9\theta $ = $ 2 $ \cos\ffd{3\theta+9\theta}2 $ \cos\ffd{3\theta-9\theta}2 $ = $ 2 $ \cos3\theta $ \cdot $ \cos6\theta $$
#ceq(d)
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