変換行列の連鎖則 のソース

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/変換行列の連鎖則
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* 背景 [#w2ced3c2]
;;３次元球面座標で変換行列は
$$
\left\{\arr[l]{
 x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
 y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
 z = r\cos\theta \\
}\right.
$$
で定義され、
;,変換行列は以下のように表される：
#ceq(e)
$$
  \ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta\, \cos\phi &  r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
    \sin\theta\, \sin\phi &  r\cos\theta\, \sin\phi &  r\sin\theta\, \cos\phi \\
    \cos\theta            & -r\sin\theta            &  0                      \\
  }
$$
#ceq(e)
$$
  \phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
    \sin\phi &  \cos\phi & 0 \\
    0        &  0        & 1 \\
  }
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\
    0          &  0          & 1 \\
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
  }
  $\arrs[ccc]{
    1 & 0 & 0 \\
    0 & r & 0 \\
    0 & 0 & r\sin\theta \\
  }
$$
#ceq(d)
 
以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。
 
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* 回転と計量の分解 [#d83c40b3]
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** ２次元極座標系における回転と計量の分解 [#w2a34b92]
;;一般に、２次元の極座標系は
$$
\left\{\arr[l]{
 x = r\cos\phi \\
 y = r\sin\phi \\
}\right.
$$
で定義され((一般的に$$ \phi $$ではなく$$ \theta $$を用いられるが、球面座標系の文字に揃えた。球面座標系では$$ \theta $$が極から降ろす向きに定義され、極座標の$$ \phi $$と定義が異なる。))、
;,変換行列は以下のように表せる：
#ceq(e)
$$
  \ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
  $=
  $\arrs[cc]{
    \cos\phi & -r\sin\phi \\
    \sin\phi &  r\cos\phi \\
  }
$$
#ceq(d)
 
;,変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると：
#ceq(e)
$$
  \left|\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}\right|
  $ = $ (\cos\phi) $ (r\cos\phi) $ - $ (\sin\phi) $ (-r\cos\phi)
  $ = $ r
$$
#ceq(d)
;,よって、置換積分は$$ dx $ dy $ = $ r $ dr $ d\phi $$と書ける。
 
;;これは、$$ dr $$ と $$ r $ d\phi $$の積と見なせて、
;,$$ \theta $$が無次元のため、計量$$ r $$で長さの次元を帳尻合わせしていると解釈できる。
 
;;ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った式が得られる：
#ceq(e)
$$
  \ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
  $=
  $\arrs[cc]{
    \cos\phi & -\sin\phi \\
    \sin\phi &  \cos\phi \\
  }
  $\arrs[cc]{
    1 & 0 \\
    0 & r \\
  }
$$
#ceq(d)
 
%bodynote
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** ３次元極座標系における回転と計量の分解 [#vcb2db62]
;,３次元極座標系に対しても同様に考察すると、
;,ヤコビアンを頑張って計算すれば、
$$
  \left|\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}\right|
  $ = $ r^2\sin\theta
$$
を得られて、
;,置換積分は$$ dx $ dy $ dz $ = $ r^2 $ \sin\theta $ dr $ d\theta $$と書ける。
 
;,類推から$$ dr $$と$$ r $ d\theta $$と$$ r $ \sin\theta $ d\phi $$の積と見なせて、
;,各次元の帳尻合わせと解釈できる。
;,特に$$ \phi $$方向の計量は、$$ r $$に依存するのみならず$$ \theta $$にも依存するのが、
;,同じ半径$$ r $$の球面上における異なる$$ \theta $$の円周が異なるためと解釈できる。
 
;,すると、２次元と同様に回転と計量を分離できる：
#ceq(e)
$$
  \ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta\, \cos\phi &  r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
    \sin\theta\, \sin\phi &  r\cos\theta\, \sin\phi &  r\sin\theta\, \cos\phi \\
    \cos\theta            & -r\sin\theta            &  0                      \\
  }
$$
#ceq(e)
$$
  \phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta\, \cos\phi &  \cos\theta\, \cos\phi & -\sin\phi \\
    \sin\theta\, \sin\phi &  \cos\theta\, \sin\phi &  \cos\phi \\
    \cos\theta            & -\sin\theta            &  0        \\
  }
  $\arrs[ccc]{
    1 & 0 & 0 \\
    0 & r & 0 \\
    0 & 0 & r\sin\theta \\
  }
$$
#ceq(d)
;,２列目から$$ r $$を、３列目から$$ r $ \sin\theta $$を抜いた形になる。
;,
$$
  \arrs[ccc]{
    \sin\theta\, \cos\phi &  \cos\theta\, \cos\phi & -\sin\phi \\
    \sin\theta\, \sin\phi &  \cos\theta\, \sin\phi &  \cos\phi \\
    \cos\theta            & -\sin\theta            &  0        \\
  }
$$
が３次元の回転を表すが、
;,３次元回転が２回の２次元回転で合成できる事実は古くから知られていて、
;,３次元回転を２次元回転に分解したのが冒頭に示した因数分解式になる：
#ceq(e)
$$
  \ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta\, \cos\phi &  r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
    \sin\theta\, \sin\phi &  r\cos\theta\, \sin\phi &  r\sin\theta\, \cos\phi \\
    \cos\theta            & -r\sin\theta            &  0                      \\
  }
$$
#ceq(e)
$$
  \phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
  $=
  $\arrs[ccc]{
    \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
    \sin\phi &  \cos\phi & 0 \\
    0        &  0        & 1 \\
  }
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\
    0          &  0          & 1 \\
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
  }
  $\arrs[ccc]{
    1 & 0 & 0 \\
    0 & r & 0 \\
    0 & 0 & r\sin\theta \\
  }
$$
#ceq(d)
 
;,特に最初の
$$
  $\arrs[ccc]{
    \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
    \sin\phi &  \cos\phi & 0 \\
    0        &  0        & 1 \\
  }
$$
が、２次元回転の
$$
  $\arrs[cc]{
    \cos\phi & -\sin\phi \\
    \sin\phi &  \cos\phi \\
  }
$$
と全く同じである。
;,共に$$ x $$軸と$$ y $$軸の両方に直な方向を軸に、$$ x $$軸を$$ y $$軸に重ねる向きに回した回転を表す。
;,簡単なため、これを「$$ x $$軸を$$ y $$軸に回した回転」と略す。
 
;,２番目の行列である
$$
  $\arrs[ccc]{
    \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\
    0          &  0          & 1 \\
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
  }
$$
は３行目を１行目に、１行目を２行目に置換すれば、
;,これまた２次元の回転と同じ形になる。
;,つまり、$$ z $$→$$ x $$、$$ x $$→$$ y $$に置換すれば、$$ x $$を$$ y $$に重ねる回転を表す。
;,逆に言い方の方を置換すれば、「$$ z $$軸を$$ x $$軸に回した回転」になる。
;,すなわち、共に$$ z $$軸と$$ x $$軸の両方に直な方向を軸に、$$ z $$軸を$$ x $$軸に重ねる向きに回した回転を表す。