もしも微分が陰関数基準で表記されたらのバックアップ(No.4)

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概要

凌宮数学では、 $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $$ -1 $$ ⇒ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big)$ を $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big)$ $$ = $$ $\iro[ak]-1$ と偏微分を読み替えて約分している。
しかし約分とは、 $\ffd{\cancel{\partial x}}{\cancel{\partial y}}$ $\ffd{\cancel{\partial y}}{\cancel{\partial z}}$ $\ffd{\cancel{\partial z}}{\cancel{\partial x}}$ $$ = $$ $$ 1 $$ になる操作である。
このため、約分しているのは飽くまでも読み替えた後の係数であって、読み替える前の微分とは言えない。

ところが、もしも $\ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y}$ $\equiv$ $\iro[ak]-$ $\ppd{x}{y}$ と定義されたら*1、
オイラーの連鎖式は $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}z} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}z}{{\mathfrak d}x} \!\Big)$ $$ = $$ $\iro[ak]-1$ となり、
負の印を祓って、 $\ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}}{\mathstrut\cancel{{\mathfrak d}y}}$ $\ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}y}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}}$ $\ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}}$ $$ = $$ $$ 1 $$ と書けるようになる。

*1 $\mathfrak d$ はドイツ文字の「d」、発音は「デー」。

極限による負の偏微分の形式的定義

一般に、偏微分の定義と言えば、２変数関数 $$ z $$ $$ = $$ $$ f(x,y) $$ についての：

$\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $\lim_{\epsilon \to 0}$ $\ffd{f(x + \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon}$

すると、上記の $\ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y}$ $$ = $$ $\iro[ak]-$ $\ppd{x}{y}$ を偏微分の定義式に代入すると、負の偏微分の定義式が得られる：

$\ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y}$ $$ = $$ $\lim_{\epsilon \to 0}$ $\ffd{f(x,y) - f(x + \epsilon, y)}{\epsilon}$

もしくは、 $$ f(x,y) $$ 基準に拘るなら、細かいことを気にせず次のように改めれば良い：

$\ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y}$ $$ = $$ $\lim_{\epsilon \to 0}$ $\ffd{f(x \iro[ak]- \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon}$

偏微分の基本性質

負の微分係数は、正の偏微分に負号を付けただけなため、微分の性質は全て保存される。
ただし、 $$ f $$ $$ = $$ $$ f(x,y) $$ 、 $$ g $$ $$ = $$ $$ g(x,y) $$ 、 $$ k $$ $$ = $$ $k\overline{(x)}$ *2について考える。

定数倍	$\ppd{(cf)}{x}$ $\ppd{f}{x}$	乗算	$\ppd{(f \cdot g)}{x}$ $\ppd{f}{x}$ $\cdot$ $\cdot$ $\ppd{g}{x}$
	$\ffd{{\mathfrak d}(cf)}{{\mathfrak d}x}$ $\ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x}$		$\ffd{{\mathfrak d}(f \cdot g)}{{\mathfrak d}x}$ $\ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x}$ $\cdot$ $\cdot$ $\ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x}$
加減算	$\ppd{(f \pm g)}{x}$ $\ppd{f}{x}$ $\pm$ $\ppd{g}{x}$	除算	$\ppd{(f\,/g)}{x}$ $\ppd{f}{x} \!\bigg/\! g$ $\cdot \ppd{g}{x} \!\bigg/\! g^2$
	$\ffd{{\mathfrak d}(f \pm g)}{{\mathfrak d}x}$ $\ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x}$ $\pm$ $\ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x}$		$\ffd{{\mathfrak d}(f\,/g)}{{\mathfrak d}x}$ $\ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g$ $\cdot$ $\ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g^2$