%indent //////////////////////////////////////////////////////////////// * $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$ [#e7e25463] ** 固有値が重根1つ、同次形 [#g1da2d0c] #ceq(e) $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$ #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 4 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式1: 線形常微分演算子化 #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式2: 線形常微分演算子の因数分解 #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $ dx $$ #ceq(a) 式3: 逆演算子表記 #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$ #ceq(a) 式4: 逆演算子を積分に置換 ((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(a) 式5: 2階の積分式 #ceq(end) ;,以下からは具体的な積分計算が始まる。 #ceq(e) $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-2x} $ \int $ \bigg[ $ 0 $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-2x} $ \int $ C_1 $ dx $$ #ceq(a) 式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数 #ceq(e) $$ = $ e^{-2x} $ \bigg[ $ C_1 $ x $ + $ C_2 $ \bigg] $$ #ceq(e) $$ = $ C_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ C_2 $ e^{-2x} $$ #ceq(a) 式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数 #ceq(end) ;,ここで、$$ c_1 $ = $ C_1 $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と書き換えるとそのまま積和形の解が得られる ((この場合は書換なしでも十分綺麗な答えになっている。&br;一般に、2階積分では積分定数が置換えずに済む場合が稀である。&br;ここは関連記事に合わせて、大文字で仮置きしてから小文字に置換える手順に統一している。))。 ;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形も好まれる。 #ceq(e) $$ y $ = $ c_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ c_2 $ e^{-2x} $$ #ceq(a) 式8: 積和形の一般解 #ceq(e) $$ y $ = $ ( $ c_1 $ x $ + $ c_2 $ ) $ e^{-2x} $$ #ceq(a) 式9: 和積形の一般解 #ceq(end) %bodynote //////////////////////////////////////////////////////////////// * つなぎ [#ec86a775] - [[定数係数2階線形常微分方程式]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数2つ、同次形)>../Dx43y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数1つ、同次形)>../Dx44y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が虚数2つ、同次形)>../Dx45y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で非共鳴)>../Dx43y=-4]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で共鳴)>../Dx43y=-3]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};(固有値が実数1つ、非同次形で共鳴)>../Dx44y=-2]] //////////////////////////////////////////////////////////////// |