%indent //////////////////////////////////////////////////////////////// * $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$ [#z5637f55] ** 固有値が虚数2つ、同次形 [#nbe7ff75] #ceq(e) $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$ #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 5 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式1: 線形常微分演算子化 #ceq(e) ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ + $ \:i $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ - $ \:i $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$ #ceq(a) 式2: 線形常微分演算子の因数分解($$ \:i $$は虚数単位) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ + $ \:i $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ - $ \:i $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $$ #ceq(a) 式3: 逆演算子表記 #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} \!\!\!\int\!\! e^{(2+\:i)x} $ \cdot $ e^{-(2-\:i)x} \!\!\!\int\!\! e^{(2-\:i)x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$ #ceq(a) 式4: 逆演算子を積分に置換 ((1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$)) #ceq(e) ⇔ $$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(a) 式5: 2階の積分式 #ceq(end) 以下からは具体的な積分計算が始まる。 #ceq(e) $$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \int $ 0 $ dx^2 $$ #ceq(e) $$ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \bigg[ $ 0 $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$ #ceq(e) $$ = $ C_1 $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ dx $$ #ceq(a) 式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数 #ceq(e) $$ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \bigg[ $ \ffd{C_1}{2\:i}e^{2\:ix} $ + $ C_2 $ \bigg] $$ #ceq(e) $$ = $ \ffd{C_1}{2\:i} $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ C_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$ #ceq(a) 式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数 #ceq(end) ;,ここで、$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{2\:i} $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。 #ceq(e) $$ y $ = $ c_1 $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ c_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$ #ceq(a) 式8*: 複素数版、積和形の一般解 #ceq(end) ;,しかし、この解は例え定数$$ c_1 $$と$$ c_2 $$に実数を選んでも$$ y $$が虚数値となりうる ((実数値の$$ y $$を作り出すには、適切な複素数値の$$ c_1 $$と$$ c_2 $$を選ぶ必要がある。))。 ;,一方で、$$ y $$を実数値に限定する場合が多く、そのために以下の式変形が求められる。 #ceq(e) $$ y $ = $ c_1 $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ c_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$ #ceq(e) $$ = $ c_1 $ e^{-2x} $ e^{\:ix} $ + $ c_2 $ e^{-2x} $ e^{-\:ix} $$ #ceq(e) $$ = $ c_1 $ e^{-2x} $ ( $ \cos $ x $ + $ \:i $ \sin $ x $ ) $$ $$ + $ c_2 $ e^{-2x} $ ( $ \cos $ x $ - $ \:i $ \sin $ x $ ) $$ #ceq(a) オイラーの公式$$ e^{\:i\theta} $ = $ \cos $ \theta $ + $ \;i $ \sin $ \theta $$を適用 #ceq(e) $$ = $ ( $ c_1 $ + $ c_2 $ ) $ e^{-2x} $ \cos $ x $$ $$ + $ ( $ c_1 $ - $ c_2 $ ) $ \:i $ e^{-2x} $ \sin $ x $$ #ceq(end) ;,ここで、$$ c_c $ = $ c_1 $ + $ c_2 $$、$$ c_s $ = $ ( $ c_1 $ - $ c_2 $ ) $ \:i $$と置いて式整理すると、 ;,$$ c_c $$と$$ c_s $$を実数から取れば、$$ y $$も必ず実数になる積和形の解が得られる (($$ c_c $$と$$ c_s $$の置き方から、$$ c_1 $$と$$ c_2 $$が共役複素数であれば$$ y $$が実数になるのが分かる。))。 ;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形が好まれる。 #ceq(e) $$ y $ = $ c_c $ e^{-2x} $ \cos $ x $ + $ c_s $ e^{-2x} $ \sin $ x $$ #ceq(a) 式8: 積和形の一般解 #ceq(e) $$ y $ = $ e^{-2x} $ ( $ c_c $ \cos x $ + $ c_s $ \sin x $ ) $$ #ceq(a) 式9: 和積形の一般解 #ceq(end) %bodynote //////////////////////////////////////////////////////////////// * つなぎ [#ec86a775] - [[定数係数2階線形常微分方程式]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数2つ、同次形)>../Dx43y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が実数1つ、同次形)>../Dx44y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};(固有値が虚数2つ、同次形)>../Dx45y=0]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で非共鳴)>../Dx43y=-4]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};(固有値が実数2つ、非同次形で共鳴)>../Dx43y=-3]] -- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};(固有値が実数1つ、非同次形で共鳴)>../Dx44y=-2]] //////////////////////////////////////////////////////////////// |