三角公式/半角公式 のソース

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/半角公式
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* 半角公式 [#oa23b99d]
 
半角公式は、$$ \ffd{\theta}{2} $$の三角関数を$$ \theta $$の三角関数に変換する公式。
未定記号で書くと、
$$ e^{\theta/2} $ = $ \rt{e^\theta} $$と同形の
$$ \ctri \ffd{\theta}{2} $ = $ \rt{\ctri \theta} $$になるが、
正弦陰性則を適応するために両辺を二乗した式を用いる。
#ceq(e)
    $$ \ctri^2 \ffd{\theta}{2} $ \Rightarrow $ \ctri \theta $$
#ceq(end)
左辺に２乗が掛かっているため、正弦陰性則により右辺は$$ \ccos $$しか選べない：
#ceq(e)
    $$ \iro[ak]-\! $ \csin^2 \ffd{\theta}{2} $ \Rightarrow $ \ccos \theta $$
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos^2 \ffd{\theta}{2} $ \Rightarrow $ \ccos \theta $$
#ceq(end)
 
左辺に符号を反転させる要因が無いため符号合わせは必要無し。
 
続けて値域合わせに入るが、結果は次の通り：
#ceq(e)
    $$          (-1::0) $ = $ \ffd{(-1::1) - 1}{2} $$ (($$ \ffd{(-1::1) - 1}{2} $ = $ \ffd{-2::0}{2} $ = $ (-1::0) $$))
&br;$$ \phantom= (0::1) $ = $ \ffd{(-1::1) + 1}{2} $$ (($$ \ffd{(-1::1) + 1}{2} $ = $ \ffd{0::2}{2}  $ = $  (0::1) $$))
#ceq(end)
これより、次の２式を得る：
#ceq(e)
    $$ \iro[ak]-\! $ \csin^2 \ffd{\theta}{2} $ = $ \ffd{\ccos \theta \iro[md]{\,-\,1}}{\iro[md]{2}} $$
&br;$$ \phantom-\! $ \ccos^2 \ffd{\theta}{2} $ = $ \ffd{\ccos \theta \iro[md]{\,+\,1}}{\iro[md]{2}} $$
#ceq(end)
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* リンク [#z13c23f1]
 
- [[つづき ── 積和公式>../積和公式]]
 
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