三角公式/和積公式 のソース

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/和積公式
%indent
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* 和積公式 [#uac320f2]
 
和積公式は、三角関数の和を三角関数の積に変換する公式。
未定記号を使うと、
#ceq(e)
    $$ \ctri \alpha $ \cpm $ \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri A $ \ctri B $$
#ceq(end)
今度は、$$ A $$と$$ B $$がそれぞれ$$ \ffd{\alpha + \beta}{2} $$と$$ \ffd{\alpha - \beta}{2} $$で、
#ceq(e)
    $$ \ctri \alpha $ \cpm $ \ctri \beta $ \Rightarrow $ \ctri \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ctri \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
#ceq(end)
 
積和と和積で引数が紛らわしいが、
積''和''は右辺が''和''なので''和''の形をした$$ (\alpha \pm \beta) $$を取る、
和''積''は右辺が''積''のため''積''の形をした$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$を取るとでも覚えば良い。
 
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''1. 正弦合わせ''
 
式の左辺には未定記号が３つあるため、組合せは$$ 2^3 $ = $ 8 $$通り。
しかし、これまでと異なり、正弦奇遇則に違反するために不可となる組み合わせが現れる。
正弦奇偶則と正弦陰性則を適応すると、次のようになる：
#ceq(e)
    $$ \csin \alpha $ \clr[ao]+ $ \csin \beta $$ ── &font(#CC0000){奇};、&font(#CC0000){奇}; → &font(#CC0000){奇数}; ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \csin \alpha $ \clr[ak]- $ \csin \beta $$ ── &font(#CC0000){奇};、&font(#CC0000){奇}; → &font(#CC0000){奇数}; ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \csin \alpha $ \clr[ao]+ $ \ccos \beta $$ ── &font(#CC0000){奇};、&font(#0033CC){偶}; → &font(#9900FF){不可};
&br;$$ \csin \alpha $ \clr[ak]- $ \ccos \beta $$ ── &font(#CC0000){奇};、&font(#0033CC){偶}; → &font(#9900FF){不可};
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ao]+ $ \csin \beta $$ ── &font(#0033CC){偶};、&font(#CC0000){奇}; → &font(#9900FF){不可};
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ak]- $ \csin \beta $$ ── &font(#0033CC){偶};、&font(#CC0000){奇}; → &font(#9900FF){不可};
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ao]+ $ \ccos \beta $$ ── &font(#0033CC){偶};、&font(#0033CC){偶}; → &font(#0033CC){偶数}; ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ak]- $ \ccos \beta $$ ── &font(#0033CC){偶};、&font(#0033CC){偶}; → &font(#0033CC){偶数}; ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
#ceq(end)
 
ここも加法定理と紛らわしく右辺の候補に対して２択１を取るのだが、
和''積''は右辺が''積''のため既に''積''の形をした候補から２択１すれば良い。
 
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''2. 符号合わせ''
 
続けて、左辺の符号に応じて、右辺を決める。
今度は$$ \alpha $$と$$ \beta $$を交換して、式の値を調べる。
左辺は「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら変化有り。
右辺は$$ \alpha - \beta $$が符号反転するため、$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$を持つ方が変化無し、持たない方が変化有り。
 
#ceq(e)
    $$ \csin \alpha $ \clr[ao]+ $ \csin \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \csin \alpha $ \clr[ak]- $ \csin \beta $$ ── 変化有り ── $$ \phantom-\! $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ao]+ $ \ccos \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ak]- $ \ccos \beta $$ ── 変化有り ── $$ \iro[ak]-\! $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
#ceq(end)
 
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''3. 値域合わせ''
 
今、
左辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $ +      $ (-1::1) $ = $ (-2::2) $$、
右辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $ \times $ (-1::1) $ = $ (-1::1) $$。
このため、
値域を合わせるには、右辺を$$ 2 $$倍すれば良い。
 
以上より、和積公式の４式は次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \csin \alpha $ \clr[ao]+ $ \csin \beta $ = $ \phantom-\! $ \clr[md]2 $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
&br;$$ \csin \alpha $ \clr[ak]- $ \csin \beta $ = $ \phantom-\! $ \clr[md]2 $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ao]+ $ \ccos \beta $ = $ \phantom-\! $ \clr[md]2 $ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
&br;$$ \ccos \alpha $ \clr[ak]- $ \ccos \beta $ = $ \iro[ak]-\! $ \clr[md]2 $ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
#ceq(end)
 
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* リンク [#k256b3c6]
 
- [[つづき ── 理論編：虚数正弦>../虚数正弦]]
 
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