定数係数２階線形常微分方程式/Dx44y=0 のソース

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%indent
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* $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$ [#e7e25463]
** 固有値が重根１つ、同次形 [#g1da2d0c]
 
#ceq(e)
    $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 4 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
    式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
    式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $ dx $$
#ceq(a)
    式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$
#ceq(a)
    式4： 逆演算子を積分に置換
    ((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(a)
    式5： ２階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
    $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-2x} $ \int $ \bigg[ $ 0 $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-2x} $ \int $ C_1 $ dx $$
#ceq(a)
    式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-2x} $ \bigg[ $ C_1 $ x $ + $ C_2 $ \bigg] $$
#ceq(e)
    　$$ = $ C_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ C_2 $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ C_1 $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と書き換えるとそのまま積和形の解が得られる
  ((この場合は書換なしでも十分綺麗な答えになっている。&br;一般に、２階積分では積分定数が置換えずに済む場合が稀である。&br;ここは関連記事に合わせて、大文字で仮置きしてから小文字に置換える手順に統一している。))。
;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形も好まれる。
#ceq(e)
    $$ y $ = $ c_1 $ x $ e^{-2x} $ + $ c_2 $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式8： 積和形の一般解
#ceq(e)
    $$ y $ = $ ( $ c_1 $ x $ + $ c_2 $ ) $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式9： 和積形の一般解
#ceq(end)
 
%bodynote
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* つなぎ [#ec86a775]
- [[定数係数２階線形常微分方程式]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数２つ、同次形）>../Dx43y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数１つ、同次形）>../Dx44y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が虚数２つ、同次形）>../Dx45y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で非共鳴）>../Dx43y=-4]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で共鳴）>../Dx43y=-3]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};（固有値が実数１つ、非同次形で共鳴）>../Dx44y=-2]]
 
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