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| | %indent
#ceq(e)
$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 5 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ + $ \:i $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ - $ \:i $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
式2： 線形常微分演算子の因数分解（$$ \:i $$は虚数単位）
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ + $ \:i $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ - $ \:i $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $$
#ceq(a)
式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} \!\!\!\int\!\! e^{(2+\:i)x} $ \cdot $ e^{-(2-\:i)x} \!\!\!\int\!\! e^{(2-\:i)x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$
#ceq(a)
式4： 逆演算子を積分に置換
((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(a)
式5： ２階の積分式
#ceq(end)
以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(e)
$$ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ \bigg[ $ 0 $ + $ C_1 $ \bigg] $ dx $$
#ceq(e)
$$ = $ C_1 $ e^{-(2+\:i)x} $ \int $ e^{2\:ix} $ dx $$
#ceq(a)
式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
#ceq(e)
$$ = $ e^{-(2+\:i)x} $ \bigg[ $ \ffd{C_1}{2\:i}e^{2\:ix} $ + $ C_2 $ \bigg] $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{C_1}{2\:i} $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ C_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$
#ceq(a)
式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ \ffd{C_1}{2\:i} $$、$$ c_2 $ = $ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ c_1 $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ c_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$
#ceq(a)
式8*： 複素数版、積和形の一般解
#ceq(end)
;,しかし、この解は例え定数$$ c_1 $$と$$ c_2 $$に実数を選んでも$$ y $$が虚数値となりうる
((実数値の$$ y $$を作り出すには、適切な複素数値の$$ c_1 $$と$$ c_2 $$を選ぶ必要がある。))。
;,一方で、$$ y $$を実数値に限定する場合が多く、そのために以下の式変形が求められる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ c_1 $ e^{-(2-\:i)x} $ + $ c_2 $ e^{-(2+\:i)x} $$
#ceq(e)
$$ = $ c_1 $ e^{-2x} $ e^{\:ix} $ + $ c_2 $ e^{-2x} $ e^{-\:ix} $$
#ceq(e)
$$ = $ c_1 $ e^{-2x} $ ( $ \cos $ x $ + $ \:i $ \sin $ x $ ) $$
$$ + $ c_2 $ e^{-2x} $ ( $ \cos $ x $ - $ \:i $ \sin $ x $ ) $$
#ceq(a)
オイラーの公式$$ e^{\:i\theta} $ = $ \cos $ \theta $ + $ \;i $ \sin $ \theta $$を適用
#ceq(e)
$$ = $ ( $ c_1 $ + $ c_2 $ ) $ e^{-2x} $ \cos $ x $$
$$ + $ ( $ c_1 $ - $ c_2 $ ) $ \:i $ e^{-2x} $ \sin $ x $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_c $ = $ c_1 $ + $ c_2 $$、$$ c_s $ = $ ( $ c_1 $ - $ c_2 $ ) $ \:i $$と置いて式整理すると、
;,$$ c_c $$と$$ c_s $$を実数から取れば、$$ y $$も必ず実数になる積和形の解が得られる
(($$ c_c $$と$$ c_s $$の置き方から、$$ c_1 $$と$$ c_2 $$が共役複素数であれば$$ y $$が実数になるのが分かる。))。
;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形が好まれる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ c_c $ e^{-2x} $ \cos $ x $ + $ c_s $ e^{-2x} $ \sin $ x $$
#ceq(a)
式8： 積和形の一般解
#ceq(e)
$$ y $ = $ e^{-2x} $ ( $ c_c $ \cos x $ + $ c_s $ \sin x $ ) $$
#ceq(a)
式9： 和積形の一般解
#ceq(end)
%bodynote
- [[定数係数２階線形常微分方程式]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数２つ、同次形）>../Dx43y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が実数１つ、同次形）>../Dx44y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 5 $ y $ = $ 0 $$};（固有値が虚数２つ、同次形）>../Dx45y=0]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-4x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で非共鳴）>../Dx43y=-4]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ e^{-3x} $$};（固有値が実数２つ、非同次形で共鳴）>../Dx43y=-3]]
-- [[&font(black){$$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ e^{-2x} $$};（固有値が実数１つ、非同次形で共鳴）>../Dx44y=-2]]
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