⇔
式1: 線形常微分演算子化
式2: 線形常微分演算子の因数分解(は虚数単位)
式3: 逆演算子表記
式4: 逆演算子を積分に置換*1
式5: 2階の積分式
以下からは具体的な積分計算が始まる。
式6: 不定積分、は積分定数
式7: 不定積分、は積分定数
ここで、、と置いて式整理すると積和形の解が得られる。
式8*: 複素数版、積和形の一般解
しかし、この解は例え定数とに実数を選んでもが虚数値となりうる*2。 一方で、を実数値に限定する場合が多く、そのために以下の式変形が求められる。
オイラーの公式を適用
ここで、、と置いて式整理すると、 とを実数から取れば、も必ず実数になる積和形の解が得られる*3。 また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形が好まれる。
式8: 積和形の一般解
式9: 和積形の一般解