ベクトル三重積公式のバックアップ(No.18)

凌宮組立術： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出せる。

(1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解

まず、左辺の $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ について、
外積の性質として $\iro[ao]{\:B \vx \:C}$ は $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C}$ の両方に垂直のため、
$\iro[ao]{\:B \vx \:C}$ は $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C}$ を含む平面に垂直。

同様に、 $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ は $\iro[ao]{\:B \vx \:C}$ に垂直。
その結果、 $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ は、 $\:B$ と $\:C$ を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。

というわけで、 $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ は $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C}$ と同一平面上にある。
よって、 $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ は $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C}$ に成分分解できる*1。
これを穴埋めの形で書くと、こうなる：

$\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ $$ = $$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:B}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:C}$

ここで、 $\fbox{\phantom{X}}$ にはスカラの係数が、 $\textcircled{\phantom{X}}$ には「 $$ + $$ 」または「 $$ - $$ 」の符号が入る。

*1 難しい言い方をすると、 $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C}$ を平面の基底として、同平面上にある $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ を成分分解できる。

(2) 次元解析＆スカラ積＝内積

次は、 $\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、 $\:A \:B \:C$ の次元である*2。
よって、 $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:B}$ も $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:C}$ も３文字の掛け算であるべき。

$\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ $$ = $$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \spc{?}{\vx} \:C)$ $\iro[md]{\:B}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \spc{?}{\vx} \:B)$ $\iro[md]{\:C}$

さらに、係数はスカラ値である必要があるため、 $$ ? $$ は自ずとスカラ積すなわち内積になる*3。

$\iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)}$ $$ = $$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:B)$ $\iro[md]{\:C}$

*2 次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、 $\:A$ が[m]、 $\:B$ が[s]、 $\:C$ が[g]とか。
*3 実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。

(3) 極端な例で符号判定

外積の交代性で $\:B \vx \:C$ $$ = $$ $- \:C \vx \:B$ であるため、右辺も $\:B$ と $\:C$ が交代したらマイナスになる。
$(\:A \sx \:C)$ $\:B$ で $\:B$ と $\:C$ が交代したら $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ になるため、交代則を成立させるには、２つの $\textcircled{\phantom{X}}$ には「＋」と「－」と逆の符号が入る。

この符号は外積の立体的な回転を２回も考える必要がある。
今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べれば良い。

$\:B \vx \:C$ は外積であるため、結果が変らないように $\iro[md]{\:B}$ と垂直な $\iro[md]{\:C'}$ を選べる。
$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ も同様、結果が変らないように $\iro[ao]{\:B \vx \:C}$ と垂直な $\iro[ao]{\:A'}$ を選べる。
さらに、 $\iro[md]{\:B}$ と $\iro[md]{\:C'}$ をそれぞれ直交座標系の単位ベクトル $\:i$ と $\:j$ にしても符号は変らない*4。
対して、 $\iro[ao]{\:A'}$ は $\:i + \:j$ としても符号に影響を与えない*5
仕舞に、 $\iro[ao]{\:A'}$ を $\:i$ に選んでも片方の符号は出てくる*6

そうすると、ベクトル三重積が、空間ベクトルの基本である単位ベクトルの定義に帰着される：

正順	逆順
$\:i$ $\vx$ $\:j$ $\:k$	$\:j$ $\vx$ $\:i$ $-\:k$
$\:j$ $\vx$ $\:k$ $\:i$	$\:k$ $\vx$ $\:j$ $-\:i$
$\:k$ $\vx$ $\:i$ $\:j$	$\:i$ $\vx$ $\:k$ $-\:j$

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$
⇒ $\:i \vx (\:i \vx \:j)$ $$ = $$ $\:i$ $\vx$ $\:k$ $$ = $$ $-\:j$
⇒ $-\:C$

$\:B$ ⇔ $\:i$
$\:C$ ⇔ $\:j$

というわけで、 $\:C$ の前が「 $$ - $$ 」、残る $\:B$ の前は「 $$ + $$ 」となる。

$\iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C})$ $$ = $$ $$ + $$ $(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$ $$ - $$ $(\:A \sx \:B)$ $\iro[md]{\:C}$

他方、紛らわしい $(\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C}$ も全く同様に置換すれば良い。

$(\:A \vx \:B) \vx \:C$
⇒ $(\:i \vx \:j) \vx \:i$ $$ = $$ $\:k$ $\vx$ $\:i$ $$ = $$ $+\:j$
⇒ $+\:B$

$\:A$ ⇔ $\:i$
$\:B$ ⇔ $\:j$

というわけで、 $\:B$ の前が「 $$ + $$ 」、残る $\:A$ の前は「 $$ - $$ 」となる。

$(\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C}$ $$ = $$ $$ - $$ $(\:C \sx \:B)$ $\iro[md]{\:A}$ $$ + $$ $(\:C \sx \:A)$ $\iro[md]{\:B}$

*4 大きさだけが変る。
*5 $\:i$ と $\:j$ の係数が共に正である限り、成分に含まれる符号は出てこない。
*6 $\:i + \:j$ を選んだ場合、 $(\:i + \:j)$ $\vx (\:i \vx \:j)$ $$ = $$ $\:i - \:j$ になるように、両方の符号が出てくるだけ。

まとめ・つなぎ

ベクトル三重積の公式 $\iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C})$ や $(\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C}$ に関して、
以下の手順で公式を簡単に組み立てられる：

$\iro[ao]{\:A}$ $\vx$ $(\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C})$	$(\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B})$ $\vx$ $\iro[ao]{\:C}$
$\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:B}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:C}$	$\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:A}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\iro[md]{\:B}$	(1) 平面決定・成分分解
$\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:B)$ $\iro[md]{\:C}$	$\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:B \sx \:C)$ $\iro[md]{\:A}$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$	(2) 次元決定・演算決定
$\iro[ao]{\:i}$ $\vx$ $(\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j})$ $\:i$ $\vx$ $\:k$ $-\iro[md]{\:j}$ ⇒ $\iro[md]{\:C}$	$(\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j})$ $\vx$ $\iro[ao]{\:i}$ $\:k$ $\vx$ $\:i$ $+\iro[md]{\:j}$ ⇒ $\iro[md]{\:B}$	簡単な特例で符号調べ
$(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$ $(\:A \sx \:B)$ $\iro[md]{\:C}$	$(\:B \sx \:C)$ $\iro[md]{\:A}$ $(\:A \sx \:C)$ $\iro[md]{\:B}$	(3) 符号決定

なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は「ベクトル三重積公式の補足」にて補足する。
また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるのは以下の３つである：

ベクトル微分の回転 $\:\nabla \vx$ が絡む回転公式。
ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適応した表記を表現できない。

角運動量 $\:L$ と角速度 $\:\omega$ の関係式 $\:L$ $\:r$ $\vx$ $(\:\omega \vx \:r)$ *7。
ただし、これは $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ の場合で、 $\:A$ $\:C$ $\iro[gy]{=}$ $\iro[gy]{\:r}$ となっているパターンである。

空間ベクトル $\:A$ を $\:u$ 方向の単位ベクトル $\:1_u$ に対して平行と垂直に成分分解する際の垂直ベクトル成分：
　　 $\:A$ $\:A_{\,\parallel\:1_u}$ $\:A_{\perp\:1_u}$ $\bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_u} = (\:1_u \sx \:A)\; \:1_u & \!\!,\; \:A_{\,\parallel\:1_u} \,\parallel \:1_u \\ \:A_{\perp\:1_u} = (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u & \!\!,\; \:A_{\perp\:1_u} \perp \:1_u \end{array}$
ベクトル三重積公式が分解式を移項した $\:A_{\perp\:1_u}$ $\:A$ $\:A_{\,\parallel\:1_u}$ に対応している：
　　 $(\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u$ $\cancel{(\:1_u \sx \:1_u)}$ $\:A$ $(\:1_u \sx \:A)$ $\:1_u$
ただし、これも $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ の場合で、 $\:A$ $\:C$ $\iro[gy]{=}$ $\iro[gy]{\:1_u}$ となっているパターンである。

*7 参考：EMANの物理学 / 力学 / 慣性モーメントテンソル

ベクトル三重積公式 のバックアップ(No.18)