回転公式のバックアップの現在との差分(No.5) < ベクトル微分演算子

予備知識

回転と元ベクトルの外積

回転公式

回転と元ベクトルの外積

 \:F \vx (\:\nabla \vx \:F) &spandel; = \ffd12 \:\nabla |\:F|^2 - (\:F \sx \:\nabla) \:F&spanend; &spanadd; = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F&spanend;

/home/limg/www/LimgMath/eq! Misplaced alignment tab character &.
 ...strut { \:F \vx (\:\nabla \vx \:F) &
                                                  spandel; = \ffd 12 \:\nabl...
l.34 $}

左辺 $$ = $$ $\:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big)$

$\Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	ベクトル三重積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$
$\ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	積の微分 $d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G$ のための式変形 1 2
$\ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$
$\ffd{1}{2} \ffd{d\|\:A\|^2}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$ $\ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$
右辺

のベクトル版 $d\:F^2 \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F$ のための式変形と解釈しても良い
*2 $$ d(F^2) = 2FdF $$

のベクトル版 $d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F$ のための式変形と解釈しても良い

外積の回転

$\:\nabla \vx (\:F \vx \:G) = (\:G \sx \:\nabla) \:F - (\:F \sx \:\nabla) \:G + (\:\nabla \sx \:G) \:F - (\:\nabla \sx \:F) \:G$

左辺 $\ffd{1}{d\:r} \vx d(\:F \vx \:G)$ 左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d(\:F \vx \:G)$

$\ffd{1}{d\:r} \vx (d\:F \vx \:G) + \ffd{1}{d\:r} \vx (\:F \vx d\:G)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $(d\:F \vx \:G)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $(\:F \vx d\:G)$	積の微分： $d(\:F \vx \:G) = d\:F \vx \:G + \:F \vx d\:G$ 積の微分： $d(\:F \vx \:G)$ $d\:F \vx \:G$ $\:F \vx d\:G$
$\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:G \Big) d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:F \Big) d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\:G \Big)$ $d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\:F \Big)$ $d\:G$	ベクトル三重積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$ ベクトル三重積： $\:A$ $\vx$ $(\:B$ $\vx$ $\:C)$ $(\:A$ $\sx$ $\:C)$ $\:B$ $(\:A$ $\sx$ $\:B)$ $\:C$
$\Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$ $\Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$ $\Big(\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$ $\Big(\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$	内積の交換則： $\:A \sx \:B = \:B \sx \:A$ 内積の交換則： $\:A$ $\sx$ $\:B$ $\:B$ $\sx$ $\:A$
$\Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F$ $\Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$ $\Big(\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:F$ $\Big(\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$
右辺

回転の回転

 &spandel; \:\nabla \vx (\:\nabla \vx \:F)&spanend; &spandel; = \:\nabla (\:\nabla \sx \:F)&spanend; &spandel; - \:\nabla \sx \:\nabla \:F&spanend; &spandel; = \:\nabla (\:\nabla \sx \:F)&spanend; &spandel; - \triangle \:F&spanend; &spanadd; \:\nabla

/home/limg/www/LimgMath/eq! Misplaced alignment tab character &.
 $\displaystyle \mathstrut { &
                                        spandel; \:\nabla \vx (\:\nabla \vx ...
l.34 $}

$\vx$

 (\:\nabla \vx \:F)&spanend; &spanadd; = \:\nabla

/home/limg/www/LimgMath/eq! Misplaced alignment tab character &.
 ...yle \mathstrut { (\:\nabla \vx \:F)&
                                                  spanend; &spanadd; = \:\na...
l.34 $}

$(\:\nabla \sx \:F)$ $$ - $$ $(\:\nabla \sx \:\nabla)$

 \:F&spanend; &spanadd; = \:\nabla

/home/limg/www/LimgMath/eq! Misplaced alignment tab character &.
 $\displaystyle \mathstrut { \:F&
                                           spanend; &spanadd; = \:\nabla } $
l.34 $}

$(\:\nabla \sx \:F)$ $$ - $$ $\triangle$

 \:F&spanend;

/home/limg/www/LimgMath/eq! Misplaced alignment tab character &.
 $\displaystyle \mathstrut { \:F&
                                           spanend; } $
l.34 $}

左辺 $\ffd{1}{d\:r} \vx d \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:F \Big)$ 左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d \Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:F \Big)$

$\ffd{1}{d\:r} \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d^2\:F \Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d^2\:F \Big)$	$\ffd{1}{d\:r} \vx$ はと交換可能。（ $d\:r$ が $\:r$ に依存しない限り） $\ffd{1}{d\:r} \vx$ とは交換可能。
$\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big) \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d^2\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d^2\:F$	ベクトル三重積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$ ベクトル三重積： $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$
$\ffd{1}{d\:r} \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big)$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d^2\:F$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d^2\:F$	倍積の交換則： $A \:B = \:B A$ 倍積の交換則： $A \:B$ $\:B A$
$\ffd{1}{d\:r} \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big)$ $\ddd{^2\:F}{\:r^2}$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\ddd{^2\:F}{\:r^2}$	ラプラス演算子の猫式表記分数形： $\:\triangle \:F \Leftrightarrow \ddd{^2\:F}{\:r^2}$ ラプラス演算子の凌宮表記の分数形： $\:\triangle \:F$ $\Leftrightarrow$ $\ddd{^2\:F}{\:r^2}$
右辺

内積の勾配

 #spanend &spanadd; \:\nabla (\:F \sx \:G)&spanend; &spanadd; = (\:G \sx \:\nabla)\:F&spanend; &spanadd; + (\:F \sx \:\nabla)\:G&spanend; &spanadd; + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G)&spanend; &spanadd; + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)&spanend; #spanadd

/home/limg/www/LimgMath/eq! You can't use `macro parameter character #' in math mode.
 $\displaystyle \mathstrut { ##
                                         spanend &spanadd; \:\nabla (\:F \sx...
l.34 $}

左辺 $\ffd{1}{d\:r}$ $$ d( $$ $\:F$ $\sx$ $\:G$ $$ ) $$

$\ffd{1}{d\:r}$ $\Big($ $d\:F$ $\sx$ $\:G$ $\:F$ $\sx$ $d\:G$ $\Big)$	積の微分

$\Big($ $\:F$ $\sx$ $d\:G$ $\Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big($ $\:G$ $\sx$ $d\:F$ $\Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$	;,通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。 ;,内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用： ;, $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ （右辺第１項に合わせて式変形）

$\:F$ $\vx$ $\Big($ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:G$ $\Big)$ $\Big($ $\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big)$ $d\:G$ $\:G$ $\vx$ $\Big($ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:F$ $\Big)$ $\Big($ $\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big)$ $d\:F$	;,ベクトル三重積公式の右辺第１項を左辺について解いて利用： ;, $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:B)$ 3 4

$\:F$ $\vx$ $\:\nabla$ $\vx$ $\:G$ $\:F$ $\sx$ $\:\nabla$ $\:G$ $\:G$ $\vx$ $\:\nabla$ $\vx$ $\:F$ $\:G$ $\sx$ $\:\nabla$ $\:F$	通常表記では、 $(\:A \sx \:\nabla) \:B$ で $\Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B$ を表す。

右辺