和積公式

積和公式

和積公式は、三角関数の和を三角関数の積に変換する公式。積和公式は、三角関数の積を三角関数の和に変換する公式。未定記号を使うと、

$$ \ctri \alpha $$$$ \cpm $$$$ \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri A $$$$ \ctri B $$ $$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri A $$$$ \cpm $$$$ \ctri B $$

今度は、$$ A $$と$$ B $$がそれぞれ$$ \ffd{\alpha + \beta}{2} $$と$$ \ffd{\alpha - \beta}{2} $$で、ただし、$$ A $$と$$ B $$はそれぞれ$$ \alpha + \beta $$と$$ \alpha - \beta $$で、次のようになる。

$$ \ctri \alpha $$$$ \cpm $$$$ \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ctri \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ $$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \ctri (\alpha - \beta) $$

一応、対応する指数の法則は$$ e^\alpha\,e^\beta = e^{\alpha + \beta} $$で、加法定理の逆になる。このため、右辺に加法定理の左辺となる$$ \ctri (\alpha + \beta) $$と$$ \ctri (\alpha - \beta) $$が現われる。
積和と和積で引数が紛らわしいが、積和は右辺が和なので和の形をした$$ (\alpha \pm \beta) $$を取る、和積は右辺が積のため積の形をした$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$を取るとでも覚えば良い。$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$が$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$、$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$、$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$、$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$の場合について、等号が成立するように右辺を決めていくのが組立の仕事。
1. 正弦合わせ
式の左辺には未定記号が３つあるため、組合せは$$ 2^3 $$$$ = $$$$ 8 $$通り。しかし、これまでと異なり、正弦奇遇則に違反するために不可となる組み合わせが現れる。正弦奇偶則と正弦陰性則を適応すると、次のようになる：それぞれの左辺の正弦数と組合せ可能な右辺を配置すると次のようになる：

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 奇、奇 → 奇数 ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$


$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 奇、奇 → 奇数 ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 奇、偶 → 不可
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 奇、偶 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 偶、奇 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 偶、奇 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 偶、偶 → 偶数 ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 偶、偶 → 偶数 ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ $$ \phantom-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$ ── １個 ── 奇数 ── $$ \csin (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \csin (\alpha - \beta) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$ ── １個 ── 奇数 ── $$ \csin (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \csin (\alpha - \beta) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$ ── ０個 ── 偶数 ── $$ \ccos (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \ccos (\alpha - \beta) $$
$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$ ── ２個 ── 偶数 ── $$ \ccos (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \ccos (\alpha - \beta) $$
右辺が$$ \csin $$のみ、または$$ \ccos $$のみになるのが特徴。正弦奇偶則のため、$$ \csin (\alpha + \beta) $$$$ \cpm $$$$ \ccos (\alpha + \beta) $$のように混ざった加算は現われない。
ここも加法定理と紛らわしく右辺の候補に対して２択１を取るのだが、和積は右辺が積のため既に積の形をした候補から２択１すれば良い。
2. 符号合わせ
続けて、左辺の符号に応じて、右辺を決める。今度は$$ \alpha $$と$$ \beta $$を交換して、式の値を調べる。左辺は「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら変化有り。右辺は$$ \alpha - \beta $$が符号反転するため、$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$を持つ方が変化無し、持たない方が変化有り。続けて、右辺の符号を決める。ここでは簡単に$$ \beta $$の符号を反転させ、値の変化を調べる。$$ \beta $$の符号を反転させると、左辺は$$ \ccos $$は符号が消されて変化無し、$$ \csin $$は通され符号反転。一方、右辺は第１項と第２項が入れ替わり、「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら符号反転。

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$


$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 変化有り ── $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化有り ── $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ $$ \phantom-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化無し ── $$ \csin (\alpha + \beta) $$$$ \iro[ao]+ $$$$ \csin (\alpha - \beta) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$ ── 符号反転 ── $$ \csin (\alpha + \beta) $$$$ \iro[ak]- $$$$ \csin (\alpha - \beta) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化無し ── $$ \ccos (\alpha + \beta) $$$$ \iro[ao]+ $$$$ \ccos (\alpha - \beta) $$
$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$ ── 符号反転 ── $$ \ccos (\alpha + \beta) $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ccos (\alpha - \beta) $$
3. 値域合わせ
今、左辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $$$$ + $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-2::2) $$、右辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $$$$ \times $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-1::1) $$。このため、値域を合わせるには、右辺を$$ 2 $$倍すれば良い。左辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $$$$ \times $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-1::1) $$、右辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $$$$ + $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-2::2) $$したがって、値域を合わせるには、右辺を$$ \ffd12 $$倍すれば良い。
以上より、和積公式の４式は次のようになる。以上より、積和公式の４式は次のようになる。

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$


$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$ $$ \phantom-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \iro[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \csin(\alpha + \beta) $$$$ \iro[ao]+ $$$$ \csin(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \iro[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \csin(\alpha + \beta) $$$$ \iro[ak]- $$$$ \csin(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \iro[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \ccos(\alpha + \beta) $$$$ \iro[ao]+ $$$$ \ccos(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \iro[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \ccos(\alpha + \beta) $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ccos(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$

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