Dx43y=-3 のバックアップ(No.2) < 定数係数２階線形常微分方程式

【執筆中】 $\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{-3x}$

$\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{-3x}$
⇔ $\bigg($ $\ddd{^2}{x^2}$ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{-3x}$	式1：線形常微分演算子化
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{-3x}$	式2：線形常微分演算子の因数分解
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!\!-1}$ $e^{-3x}$	式3：逆演算子表記*1
⇔ $e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x}$ $\cdot$ $e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x}$ $\cdot$ $e^{-3x}$	式4：逆演算子を積分に置換*2
⇔ $e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\int$	式5：２階の積分式

以下からは具体的な積分計算が始まる。

$e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\int$
$e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\bigg[$ $\bigg]$
$e^{-x}$ $\int$ $\bigg($ $e^{-2x}$ $\ +$ $e^{-2x}$ $\bigg)$	式6：不定積分、は積分定数3 4
$e^{-x}$ $\bigg[$ $\ffd{1}{-2}$ $e^{-2x}$ $\ffd{1}{(-2)^2}$ $e^{-2x}$ $\ffd{C_1}{-2}$ $e^{-2x}$ $\bigg]$
$\ffd{1}{-2}$ $e^{-3x}$ $\bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg)$ $e^{-3x}$ $e^{-x}$	式7：不定積分、は積分定数

ここで、 $$ c_1 $$ $$ = $$ $\bigg( \ffd{1}{4} - \ffd{C_1}{2} \bigg)$ 、 $$ c_2 $$ $$ = $$ と置いて式整理すると積和形の解が得られる。

$$ y $$ $$ = $$ $-\ffd{1}{2}x$ $e^{-3x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $e^{-3x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{-x}$

式8：積和形の一般解

*1 演算子の逆演算子は一般的に $(AB)^{-1}$ $$ = $$ $B^{-1}$ $A^{-1}$ と逆順になるが、定数係数の１階線形常微分演算子 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

$\bigg)$ は可換なため順番は自由。
*2 １階線形常微分方程式の解を利用： $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

⇔

$e^{-kx}$ $\int$ $e^{-kx}$ $$ h $$

*3 積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任意定数を含む基本解を先に書く習慣があるため、。
*4 $\int$ $$ x $$

$e^{\lambda x}$ $$ dx $$ の計算は補足を参考。

$\int$ $e^{\lambda x}$
$\ffd{1}{\lambda}$ $\int$ $\ddd{(e^{\lambda x})}{x}$	部分積分： $\int$ $e^{\lambda x}$ $\ffd{1}{\lambda}$ $e^{\lambda x}$
$\ffd{1}{\lambda}$ $\int$ $\bigg($ $\ddd{(xe^{\lambda x})}{x}$ $\bcancel{\ddd{x}{x}}$ $e^{\lambda x}$ $\bigg)$	$\ddd{fg}{x}$ $\ddd{f}{x}$ $\ddd{g}{x}$ を利用（、 $e^{\lambda x}$ ）
$\ffd{1}{\lambda}$ $e^{\lambda x} -$ $\ffd{1}{\lambda^2}$ $e^{\lambda x}$	積分実行、は積分定数