Dx43y=-4 のバックアップ(No.2) < 定数係数２階線形常微分方程式

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定数係数２階線形常微分方程式/Dx43y=-4 へ行く。
- 1 (2014.0916 (火) 0608.4800)
- 2 (2014.0916 (火) 0614.4500)

$\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{-4x}$

固有値が実数２つ、同次形で非共鳴

$\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{-4x}$
⇔ $\bigg($ $\ddd{^2}{x^2}$ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{-4x}$	式1：線形常微分演算子化
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{-4x}$	式2：線形常微分演算子の因数分解
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!\!-1}$ $e^{-4x}$	式3：逆演算子表記*1
⇔ $e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x}$ $\cdot$ $e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x}$ $\cdot$ $e^{-4x}$	式4：逆演算子を積分に置換*2
⇔ $e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\int$ $e^{-x}$	式5：２階の積分式

以下からは具体的な積分計算が始まる。

$e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\int$ $e^{-x}$
$e^{-x}$ $\int$ $e^{-2x}$ $\bigg[$ $e^{-x}$ $\bigg]$
$e^{-x}$ $\int$ $\bigg($ $e^{-3x}$ $\ +$ $e^{-2x}$ $\bigg)$	式6：不定積分、は積分定数*3
$e^{-x}$ $\bigg[$ $\ffd{1}{3}$ $e^{-3x}$ $\ffd{C_1}{-2}$ $e^{-2x}$ $\bigg]$
$\ffd{1}{3}$ $e^{-4x}$ $\ffd{C_1}{-2}$ $e^{-3x}$ $e^{-x}$	式7：不定積分、は積分定数

ここで、 $$ c_1 $$ $$ = $$ $\ffd{C_1}{-2}$ 、 $$ c_2 $$ $$ = $$ と置いて式整理すると積和形の解が得られる。

　 $$ y $$ $$ = $$ $\ffd{1}{3}$ $e^{-4x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $e^{-x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{-3x}$

式8：積和形の一般解*4

*1 演算子の逆演算子は一般的に $(AB)^{-1}$ $$ = $$ $B^{-1}$ $A^{-1}$ と逆順になるが、定数係数の１階線形常微分演算子 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

$\bigg)$ は可換なため順番は自由。
*2 １階線形常微分方程式の解を利用： $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

⇔

$e^{-kx}$ $\int$ $e^{-kx}$ $$ h $$

*3 積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任意定数を含む基本解を先に書く習慣があるため、。
*4 一般に、同次方程式から一般解 $$ y_g $$ $$ = $$ $$ c_1 $$ $e^{-x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{-3x}$ を求めてから、特殊解 $$ y_s $$ $$ = $$ $e^{-4x}$ を出して繋げる定番手法では、 $$ y $$

と出てきた順で書く慣例がある。一方で、不定積分では積分定数を後ろに付ける慣例がある。２階積分法では不定積分に依るため、積分定数を後置する順番を用いる。

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定数係数２階線形常微分方程式

定数係数２階線形常微分方程式/Dx43y=-4 のバックアップ(No.2)

固有値が実数２つ、同次形で非共鳴

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