三角公式 EditToHeaderToFooter

三角関数の公式と言えば、加法定理を初めとし、積和公式と和積公式に、倍角公式と半角公式が続き、$$ \sin $$と$$ \cos $$がごちゃごぎゃしたあの公式群。丸暗記するには相当の記憶力が必要で、覚えたとしても紛らわしくて混同しやすい。

これも大学で複素数の指数関数を習えば少しは簡単に導けるようになるのだが、残念ながら、高校の公式に対して楽をしようって話は聞かない。でも、猫式は楽できるなら楽をする。

簡略のため、猫式では、三角関数の公式を三角公式、複素数の指数関数を複素指数と略す。複素指数から三角関数を導く過程を高速化した結果、複素指数を使わずとも、三角関数の性質に、単純な法則を２つ追加するだけで三角公式を作り出せる。もはや真面に計算してないため、「導く」と言わずに、この手法を公式を組み立てると呼ぶ。

三角関数で組み立てるのは以下の16本覚えるとしたら黒字の部分で、赤字、青字、緑字は全て規則に従って組み立てる。なお、公式が通常の形と異なって見えるのは、符号整理をしていないため。猫式組立術が分かれば、こっちの方が規則的であるのが分かる。

$$ \csin(\alpha \clr[ai]+ \beta) $$$$ = $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \clr[ai]+ $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$
$$ \csin(\alpha \clr[ak]- \beta) $$$$ = $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$
$$ \ccos(\alpha \clr[ai]+ \beta) $$$$ = $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$
$$ \ccos(\alpha \clr[ak]- \beta) $$$$ = $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \clr[ak]+ $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$

$$ \csin \clr[md]2 \theta $$$$ = $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$
$$ \ccos \clr[md]2 \theta $$$$ = $$$$ \ccos^{\clr[md]2} \theta $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin^{\clr[md]2} \theta $$
$$ \ccos \clr[md]2 \theta $$$$ = $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos^{\clr[md]2} \theta $$$$ \clr[ak]- $$$$ \clr[md]1 $$
$$ \ccos \clr[md]2 \theta $$$$ = $$$$ \clr[md]1 $$$$ \clr[ak]- $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin^{\clr[md]2} \theta $$

$$ \phantom{=} $$$$ \ccos^{\clr[md]2} $$$$ \ffd{\theta}{\clr[md]2} $$$$ = $$$$ \ffd{\ccos \theta \, \clr[ai]+ \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}} $$
$$ \clr[ak]- $$$$ \csin^{\clr[md]2} $$$$ \ffd{\theta}{\clr[md]2} $$$$ = $$$$ \ffd{\ccos \theta \, \clr[ak]- \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}} $$

$$ \phantom{+} $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \clr[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \csin(\alpha + \beta) $$$$ \clr[ai]+ $$$$ \csin(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \phantom{+} $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \clr[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \csin(\alpha + \beta) $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \phantom{+} $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \clr[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \ccos(\alpha + \beta) $$$$ \clr[ai]+ $$$$ \ccos(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$
$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \clr[md]{\ffd12} $$$$ \! \Big( \! $$$$ \ccos(\alpha + \beta) $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos(\alpha - \beta) $$$$ \! \Big) $$

$$ \csin A $$$$ \clr[ai]+ $$$$ \csin B $$$$ = $$$$ \phantom{+} $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{A+B}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
$$ \csin A $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin B $$$$ = $$$$ \phantom{+} $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos A $$$$ \clr[ai]+ $$$$ \ccos B $$$$ = $$$$ \phantom{+} $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos A $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos B $$$$ = $$$$ \clr[ak]- $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{A+B}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$

まずは、論より証拠。いきなり実践編という形で組立術を紹介する。ここでは、高校生でも扱えるよう、複素指数を抜きに話を進めていく。ただし、既に知っているはずの実数の指数法則は参考に使う。その後、理論編で組立に使う「正弦奇偶則」、「正弦陰性則」という猫式特有の法則を説明する。

実践編 EditToHeaderToFooter

理論編 EditToHeaderToFooter
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