掛け算の言い方/塵劫記 < 掛け算の言い方

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Twitter投稿「塵劫記（寛永20年版）におけるかけ算の数値のソロバンでの置き方」について追試・加筆。

ただし、以下の内容は、吉田光由編 (古典数学書院, 1935)『新編塵劫記』に従う。

通番	目次	左側	右側	積	名数	幾分	内外	桁数		コマ	備考
1	見一掛算	十六	銀六匁二分五厘づつ	百目	不・名	幾・一	内・外	2＜3		16	割り算の検算
2	米売買	（十匁に付）四斗三升二合かへの相場	銀五百六十七匁五分	米二十四石五斗一升六合	名・名	十・幾	内・外	3＜4		24	異次元換算
3	俵まわし	九斗七升	米八百五十石	升目八百二十四石五斗	名・名	？・？	？・？	2＜3	2＝2	27	同次元換算
4		四斗	四斗俵五千三百七十俵	二千百四十八石	名・名	一・幾	内・外	1＜5		27	異次元換算
5		（四斗八升俵に付）十三匁づつ	四斗八升俵六百俵	七貫八百目	名・名	一・幾	内・外	2＜3	2＞1	27	異次元換算
6	俵杉算	十四俵	十三俵	百八十二俵	名・名	？・？	外・外	2＝2		28	アレイ図
7	銭売買	（一貫文に付）銀十七匁	銭六貫八百文	銀百十五匁六分	名・名	一・幾	内・外	2＜4	2＝2	30	異次元換算
8	銀両替	八	丁銀五百六十九匁	灰吹*1四百五十二匁ニ分	不・名	幾・一	内・外	1＜3		32	同次元換算
9	銀両替	九匁七分	（豆板銀）九百三十目	丁銀九百二匁一分	名・名	幾・一	内・外	2＜3	2＝2	33	同次元換算
10	小判両替	（一両に付）銀五十六匁	小判八十七両	銀四貫八百七十二匁	名・名	一・幾	内・外	2＝2		35	異次元換算
11	利足	一割五分	銀六貫八百五十目	利一貫二十七匁五分	不・名	幾・一	内・外	2＜4	2＜3	36	同次元換算
12		十一匁二分	銀四貫三百目	本利共に四貫八百十六匁	名・名	？・？	？・？	3＜4	3＞2	37	同次元換算
13		五わり	銀一貫	銀五十七貫六百六十五匁四り	不・名	幾・一	内・外	1≦N		38	同次元換算・累乗
14	検地	廿五間	長卅八間八（小数）	九百七十坪	名・名	？・？	外・外	2＜3		12	平方
15	検地	さしわたし十五間	さしわたし十五間	二百二十五坪	名・名	？・？	外・外	2＝2		14	平方
		七九	二百二十五坪	百七十七坪七分五厘	不・名	幾・一	内・外	2＜3		〃	同次元換算・連乗
16	知行物成	（一反に付）一石五斗	二反七畝	四石五升	名・名	一・幾	内・外	2＝2		22	異次元換算
17	知行物成	６つ５分	高三万五千二百石	物成二万二千八百八十石	不・名	幾・一	内・外	2＜5	2＜3	23	同次元換算

名数・不名数では、単位付を名数と判定。
幾つ分・一つ分では、積と同種量を一つ分と判定。２量同種や換算の場合は「？」とした。
内包量・外延量では、割合を内包量とした。
コマは、参考資料に挙げた新編塵劫記のコマ数を示した。

*1 純銀

解析

見一掛算

あるひは銀六匁二分五りつつ　十六あわすれは百目になるなり

見一とは、二桁の割算を解く割声の出だし。
見一掛算とは、直前にある割算の説明（見一図）に対する検算。
- 先行する割算の答曰に続けて、「これを十六あわすれは」と代名詞で承ける書換えも存在する *2。
割算では、実（ヲ格*3）を右手に、法（ニ格*4）を左手に置き、実のあった右手に商を弾き出す。
対する乗算は、右手に作り出した商、左にあった法をそのまま、商のあった右手に商と法の積を弾き出し、実との一致を見て検算とする。
このため、商と法を掛け合わせる際に位置を交替させるのは、如何にも非効率がために考え難い。

*2 開化小学明治塵劫記 http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/829038/9
*3 割られる数に対応
*4 割る数に対応

米の売買

銀五百六十七匁五分有　十匁に付米四斗三升二合かへの相場の時　右の銀に米何程といふ

通貨から体積への換算
持ち金、相場の順に記述
相場十匁単位に注意。桁は合えど説明無し。
説明には「右に銀を置き、左に相場四斗三升二合を置き右の銀にかくれば」しかない。

俵まわし／かんたち（欠立*5）

米八百五十石有　但一石に付三升づゝかんたち申時　右の升目なにほどぞといふ

体積から体積の同次元換算
不足がための割引換算。
元、割引率の順に記述。

先一石と左に置く　此の内三升引ば九斗七升と成
是を右の八百五十石にかくればますめしるゝなり

右から置かずに、先に左から置き、引き算を行う動作に注目。
引き算をするだけなら、右手において引いてから掛けられても手間は同じ。
このため、置く順番を変えても、換算率を左手に置く動機が覗える。

*5 http://plaza.rakuten.co.jp/yohgo/diary/200707140000/

俵まわし／なをし

四斗俵　五千三百七十俵有　是を石になをして　何程有ぞといふ

俵数から体積への換算
換算率、元の順に記述。
元を右に置き、換算率を左に置いて掛ける。
換算率４斗は左に置くのが効率的。
米の売買との比較により、記述順に従わないことが分る。

俵まわし／蔵の内

蔵の内に四斗八升俵合六百俵有　同四斗俵合六百俵有　同三斗二升俵合六百俵有
伹四斗八升俵に付十三匁つゝねだんきはめて　四斗俵も三斗二升俵も代銀皆三口何程と云
四斗八升俵六百俵に十三匁をかくれば　銀七貫八百目としる

部分的に、俵数から通貨への換算。
元、相場の順に記述。
元に相場を掛ける。

四斗俵六百俵に十三匁をかくれば　七貫八百目と成
又左に四斗八升と置　四斗にてわれば十二と成
此十二を以　七貫八百目をわれば　銀六貫五百目と知也
「Ｂと置き、Ａにて割る」の形
「Ａを以て、Ｂを割る」の形

俵杉算

俵数合九十一俵有
右に十三俵と置　又左にも十三俵とをきて是にうへの一俵くはへて十四俵と成
これを右にかくれば百八十二俵と成　是を二つにわれば九十一俵としれ申也

アレイ状に並ぶ俵の個数の乗積。
配置時は同数なために対等関係。
左手に１加えてから、右手に掛ける。

銭売買

銭六貫八百文有時　一貫文に付十七匁にして　右の残の銀いかほどぞととふ
（答略）
まづ六貫八百文を右に置　左に十七匁とをき　右の銭をさうば十七匁にてかくる也

通貨換算
「ＡをＢにかくる」形で、銭がＡ・左側・ヲ格、相場がＢ・右側・ニ格

銀両替／灰吹き

丁銀五百六十九匁有時　
よきはいふきに内二わり引ふしてかへる時に右の丁銀に灰吹何程ぞととふ。
（答略）
法に丁銀五百六十九匁と右に置き　是に八をかくればはいふき四百五十二匁二分なり

「８割」を単なる「八」と表現。桁合わせについては説明無し。
「ＢにＡをかくれば」形で、割合がＡ・左側・ヲ格、銀がＢ・右側・ニ格

二わり引　　うちは八わりかくる　そとは十二てわるとしるべし
二わりまし　そとは十二をかけてよし　うちはハチにてわると知るべし

割引と割増を換算手順とし、割合の掛け割りを変換手順とする意味合いが強い。

銀両替／豆板銀

あるひは　まめいた九百三十目有　是を丁銀にかへる時
内三分引て　右のまめ板に丁銀何程といふ
（答略）
まづ十匁と左に置　此内三分引ば残て九匁七分有
是を九百三十目にかくればしるゝなり

「ＡをＢにかくる」形で、割合がＡ・左側・ヲ格、銀がＢ・右側・ニ格。
ヲ格側で引き算した後、そのまま掛け算を行なう。

小判両替

小判八十七両有時　一両に付銀五十六匁かへにして
右の小判に銀何程ぞと云う
（答略）
右に小判八十七両と置　五十六匁をかくるなり

異種通貨換算
「Ｂ、Ａをかくる」形で、換算係数がＡ・左側・ヲ格、換算対象がＢ・右側

万利足／利何程

銀六貫八百五十目かしり時　一わり五ふにして　右の銀に利何ほどぞといふ
（答略）
まづ六貫八百五十目と右に置　一割五分をかけるなり

金率換算
「Ｂ、Ａをかける」形で、換算係数がＡ・左側・ヲ格、換算対称がＢ・右側

万利足／本利共

銀四貫三百目かし候時　一わり二分まして　本利共に合何程ぞといふ
（答略）
まづ四貫三百目を右にをき　左に十一匁二分と置　是を右へかくれば
本利共に四貫八百十六匁としるなり

金率換算
「ＢをＡへかくれば」形で、方角のヘ格で修飾。
問いにある無名数の割合「一わり二分」を名数の「十一匁二分」と読み替えている。
読み替えに伴う桁ずれの移動は説明無し。
形式的には匁を匁に掛けて匁を得る計算となっている。

万利足／十年

銀一貫目をときんへ五わりにして　十年の間十度わたして　何程になるぞといふ
（答略）
右に一貫目と置　左に一貫五百目と置　十度かくれは右の銀としる也

金率換算（複利）
形式的に右手に一を置いて、十度掛けるとは言え、効率より形式を優先している。

検地／方田

（図示：縦長の長方形で、「長卅八間五尺ニ寸」に、横「廿五間」）
長卅八間五尺二寸を右に置て
此一間より内五尺二寸を六尺五寸を以てわれば三十八間八と成
是によこ廿五間をかくれば　九百七十坪と成
是を田法三にてわれば　三反二畝十歩と知る也

非十進復名数の「卅八間五尺二寸」を、十進単名数の小数「三十八間八」に変換している。
除算に由る縦・短辺の換算結果が右手にあり、これをニ格とし、横・長辺をヲ格として掛けている。
田法への換算でも、積を右に置いたまま実・ヲ格とし、左の法・ニ格で割る。

検地／円田

（図示：円形で、「さしわたし十五間」）
十五間を左右に置　かくれば二百二十五坪と成
是に七九をかくれば百七十七坪七分五りと成
是を田法三をもってわれば五畝廿七歩七分五りと知るゝなり

左右に同じ名数の十五間を置き、掛けている。
積をニ格とし、小数で不名数の円周率である七九*6 *7をヲ格として、掛けている。
左手・右手の別は不明。
ただし、続けて田法三をもって割るには、右手に積を得るのが効率的。

*6 0.79、π/4≒0.7854の十進小数２桁の近似値。
*7 他に、正三角形の辺長自乗と面積の比√3/4≒0.43301も「四三三」と近似した小数を扱っている。
http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1129160/21

知行物成／一石五斗

二反七畝有時　斗代一反に付一石五斗にして　右の高なにほどという
（答略）
先二反七畝を右に置　一石五斗をかくれば高知るなり

比例換算
「Ｂ、Ａをかくれば」の形、Ｂが面積・右手、Ａが換算係数・左手

知行物成／六つ五分

高三万五千二百石　物成六つ五分にして　右高のもの成何程ぞととふ
（答略）
先右に三万五千二百石と置　是に六つ五分をかくる時　もとの成しるなり

比例換算
「ＢにＡをかくる」形で、Ａが倍率・左側・ヲ格、Ｂが容積・右側・ニ格。

掛け算の言い方/塵劫記

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