ベクトル積分演算子 < ベクトル積分

ベクトル積分演算子

３次元空間でのベクトル積分と言えば、線積分 $\inte[R] \b F \sx d\:r$ 、面積分 $\inte[S] \b F \sx d\:S$ 、体積分 $\inte[V] F \, d V$ 。名前の「線」「面」「体」は伊達ではなく、ある種の次元とも言える積分の階数を表している。それは $d\:r$ 、 $d\:S$ 、 $$ dV $$ を成分表示にすると良く分る。

線要素： $d\:r$ ＝ $\!\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \\ dz \end{array}\right]\!$

面要素： $d\:S$ ＝ $\!\left[\begin{array}{c} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{array}\right]\!$

体要素： $$ d V $$ ＝ $$ dxdydz $$

問題は、微分では２階微分が $\ddd{^2}{x^2}$ と表記するように $$ d $$ の数は階数を表すが、 $d\:S$ と $$ dV $$ の式では両辺の $$ d $$ の数が異なっていて、一貫性に欠けている。これを回避するため、猫式では微小要素の記号に階数を記入する。

線要素： $d^1\:r$ ＝ $\!\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \\ dz \end{array}\right]\!$

面要素： $d^2\:S$ ＝ $\!\left[\begin{array}{c} dydz \\ dzdx \\ dxdy \end{array}\right]\!$

体要素： $$ d^3 V $$ ＝ $$ dxdydz $$

同様に、成分表示される面積分は $\inte\nte F dxdy$ のように書かれるため、 $\int$ の数も階数と直結している。しかし、定積分では $\int_a^b$ のように書かれるため、面積分を $\int^2_S$ と書くのは都合悪い。猫式では従来表記との互換性を考慮して、 $\int$ を範囲指定の専用記号として、階数指定の記号を別に作る。

スカラの場合、（常）微分と（不定）積分は互いに逆演算であり、次のような関係が成り立つ。

$$ F(x) $$ $$ = $$ $\ddd{f(x)}{x}$ $\;\Leftrightarrow\;$ $$ = $$ $\inte F(x)\,dx$

そこで、分数の感覚で、 $$ F(x) $$ $$ = $$ $\ddd{f(x)}{x}$ をについて解くと、＝ $\ffd{F(x)\, dx}{d}$ のように書ける*1。このため、猫式では $\ffd{1}{d}$ で積分を表記する。また、この表記は積分と微分の相互関係に基づいているため、その関係が成立して当然のように見える。

これらを不定積分、定積分、線積分、面積分、体積分に適応した上、式変形が便利にするために許す書式を一覧すると次のようになる。

		不定積分	定積分
		不定積分	線積分	面積分	体積分
通常表記		$\int F\,dx$	$\inte[R] \:F \sx d\:r$	$\inte[S] \:F \sx d^2\:S$	$\inte[V] F\,d^3V$
猫式表記	分数形	$\ffd{F\,dx}{d}$	$\inte[R] \ffd{\:F \sx d\:r}{d}$	$\inte[S] \ffd{\:F \sx d^2\:S}{d^2}$	$\inte[V] \ffd{F\,d^3V}{d^3}$
	演算子形	$\ffd{dx}{d}F$	$\inte[R] \ffd{d\:r}{d} \sx \:F$	$\inte[S] \ffd{d^2\:S}{d^2} \sx \:F$	$\inte[V] \ffd{d^3V}{d^3}F$
	演算子形	$d^-\!\!dx\,F$	$\inte[R] d^-\!\!d\:r \sx \:F$	$\inte[S] d^{-2}d^2\:S \sx \:F$	$\inte[V] d^{-3}d^3V\,F$
	互換形	$d^- F\,dx$	$\inte[R] d^- \:F \sx d\:r$	$\inte[S] d^{-2} \:F \sx d^2\:S$	$\inte[V] d^{-3} F\,d^3V$